Encontre os primeiros termos da série de Maclaurin das funções abaixo e encontre uma formulação geral para a série. Ache o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de , isto é, expandir em torno de , encontrar os primeiros termos, achar uma fórmula geral para os coeficientes e determinar o raio de convergência. Vamos usar o fato de que a série de Maclaurin de é bem conhecida e depois aplicar . Para o raio de convergência, usaremos o teste da razão.
Passo 2
A série de Maclaurin de é
Aqui cada termo é de ordem par em porque a derivada ímpar de em zero anula.
Passo 3
Substituindo na série acima, obtemos
Passo 4
Escrevendo os primeiros termos dessa expansão, temos
Passo 5
Podemos resumir a fórmula geral dos coeficientes em
onde
Passo 6
Para o raio de convergência , aplicamos o teste da razão a :
Como esse limite é 0<1 para todo x, a série converge para todo real, ou seja, R=infty.