Encontre os primeiros termos da série de Maclaurin das funções abaixo e encontre uma formulação geral para a série. Ache o raio de convergência.
f(x)=cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=cos(3x), isto é, expandir em torno de x=0, encontrar os primeiros termos, achar uma fórmula geral para os coeficientes e determinar o raio de convergência. Vamos usar o fato de que a série de Maclaurin de cos(u) é bem conhecida e depois aplicar u=3x. Para o raio de convergência, usaremos o teste da razão.

Passo 2

A série de Maclaurin de cos(u) é
cos(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n(2n)!
Aqui cada termo é de ordem par em u porque a derivada ímpar de cos em zero anula.

Passo 3

Substituindo u=3x na série acima, obtemos
cos(3x)=sumn=0^infty(-1)^n(3x)^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n3^2n(2n)!,x^2n

Passo 4

Escrevendo os primeiros termos dessa expansão, temos
cos(3x) =1-(3x)^22!+(3x)^44!-(3x)^66!+cdots =1-9x^22+81x^424-729x^6720+cdots

Passo 5

Podemos resumir a fórmula geral dos coeficientes an em
cos(3x)=sumn=0^inftyan,x^n,
onde
a2n=(-1)^n3^2n(2n)!, a2n+1=0

Passo 6

Para o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão a cn=(-1)^n3^2n/(2n)!:
limntoinfty|cn+1x^2(n+1)cnx^2n| =limntoinfty3^2(n+1)(2n+2)!cdot(2n)!3^2n,|x|^2 =limntoinfty9,|x|^2(2n+2)(2n+1)=0
Como esse limite é 0<1 para todo x, a série converge para todo real, ou seja, R=infty.

Resposta

A série de Maclaurin de cos(3x) é
cos(3x)=sumn=0^infty(-1)^n3^2n(2n)!,x^2n =1-9x^22+81x^424-729x^6720+cdots,
com coeficiente geral a2n=(-1)^n3^2n/(2n)!, a2n+1=0, e raio de convergência R=infty.

Exercícios relacionados