Encontre uma solução em séries de potências em (Você deve encontrar a relação de recorrência e calcular os 5 primeiros coeficientes da solução).

Passo 1

O enunciado pede uma solução em séries de potências em torno de t0=0 para a equação
(t+1)y''-(2-t)y'+y=0,
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1.
O conteúdo principal aqui é o método de séries de potências: vamos assumir
y(t)=sumn=0^inftyant^n,
derivar, substituir na equação e igualar coeficientes para achar uma relação de recorrência e os cinco primeiros coeficientes a0,dots,a4.

Passo 2

Começamos pelas séries de y, y' e y'':
y(t)=sumn=0^inftyant^n,
y'(t)=sumn=1^inftyn,ant^n-1 =summ=0^infty(m+1)am+1t^m,
y''(t)=sumn=2^inftyn(n-1)ant^n-2 =summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2t^m
Agora substituímos em cada termo da EDO:
(t+1)y''=summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2t^m +summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2t^m+1,
-(2-t)y'=-2summ=0^infty(m+1)am+1t^m +summ=1^infty m,amt^m,
+,y=summ=0^infty amt^m

Passo 3

Igualando o coeficiente de t^m a zero para m>=1, obtemos
(m+2)(m+1)am+2 +l[m(m+1)-2(m+1)r]am+1 +l[m+1r]am =0
Fatorando (m+1) e isolando am+2,
(m+2)(m+1)am+2+(m+1)(m-2)am+1+(m+1)am=0 Longrightarrow am+2=-(m-2)am+1+amm+2
Para m=0 (coeficiente de t^0) a condição dá
2,a2-2,a1+a0=0

Passo 4

Pelas condições iniciais:
a0=y(0)=2, a1=y'(0)=-1
Da equação em m=0:
2a2-2(-1)+2=0 Longrightarrow 2a2+2+2=0 Longrightarrow a2=-2

Passo 5

Usando a relação de recorrência:
Para m=1:
a3=-(1-2)a2+a11+2 =-(-1)(-2)+(-1)3 =-2-13 =-13
Para m=2:
a4=-(2-2)a3+a22+2 =-0+(-2)4 =24 =12
Portanto os cinco primeiros coeficientes são
a0=2, a1=-1, a2=-2, a3=-tfrac13, a4=tfrac12

Resposta

y(t)=2 - t -2,t^2-tfrac13,t^3+tfrac12,t^4+cdots

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