Encontre uma solução em séries de potências em (Você deve encontrar a relação de recorrência e calcular os 5 primeiros coeficientes da solução).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(t-1),y'' - t,y' + y = 0,
com condições iniciais em t0=0:
y(0) = -2, y'(0) = 6
O objetivo é obter uma solução em séries de potências
y = sumn=0^inftyan,t^n,
determinando a relação de recorrência para os coeficientes an e calculando os cinco primeiros coeficientes a0,dots,a4.

Passo 2

Assumimos
y = sumn=0^inftyan,t^n, y' = sumn=1^inftyn,an,t^n-1, y'' = sumn=2^inftyn(n-1),an,t^n-2

Passo 3

Substituímos em (t-1)y''-t,y'+y=0:
t,y'' = sumn=2^inftyn(n-1)an,t^n-1, -,y'' = -sumn=2^inftyn(n-1)an,t^n-2,
-,t,y' = -sumn=1^inftyn,an,t^n, +,y = sumn=0^inftyan,t^n
Fazendo as trocas de índice m=n-1 e m=n-2 e reunindo tudo em potências t^k, obtemos a condição para cada k>=0:
(k+1)k,ak+1 ;-;(k+2)(k+1),ak+2 ;+;(1-k),ak ;=;0

Passo 4

Reescrevendo para ak+2 resulta
ak+2 ;=;(k+1)k,ak+1 ;+;(1-k),ak(k+2)(k+1),, k>=0

Passo 5

Usando a0=y(0)=-2 e a1=y'(0)=6 e a recorrência para gerar os próximos coeficientes:
para k=0:
a2 = 1cdot0cdot a1 + (1-0)a02cdot1 = -22 = -1,
para k=1:
a3 = 2cdot1cdot a2 + (1-1)a13cdot2 = 2cdot(-1)6 = -tfrac13,
para k=2:
a4 = 3cdot2cdot a3 + (1-2)a24cdot3 = 6cdot(-tfrac13) + (-1)cdot(-1)12 = -tfrac112

Resposta

ak+2 = (k+1)k,ak+1 + (1-k),ak(k+2)(k+1),
a0=-2, a1=6, a2=-1, a3=-tfrac13, a4=-tfrac112.

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