(4.0 pontos) Identifique as séries que são convergentes e calcule a soma de uma dessas série.
Obs. Escreva o teste de convergência utilizado em cada série.
a) sumn=1^infty(12^n-2-13^n+2)

TESTE:

CALCULO:

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^inftyl(12^n-2-13^n+2r)
Chamamos atenção que cada termo é a diferença de duas séries geométricas. Vamos usar o Teste da Série Geométrica: uma série
sumn=1^infty ar^n
converge se e só se lvert rrvert<1, e nesse caso
sumn=1^inftyar^n=ar1-r,

Passo 2

Separamos a série original em duas:
sumn=1^infty12^n-2 e sumn=1^infty13^n+2
Escrevendo em forma padrão geométrica:
sumn=1^infty12^n-2 =sumn=1^infty4cdotl(tfrac12r)^n e sumn=1^infty13^n+2 =sumn=1^inftytfrac19cdotl(tfrac13r)^n

Passo 3

Para a primeira série temos a=4 e r=tfrac12. Como lvert rrvert=tfrac12<1, ela converge. Sua soma é
sumn=1^infty4l(tfrac12r)^n =4cdottfrac121-tfrac12 =4cdot1 =4

Passo 4

Para a segunda série temos a=tfrac19 e r=tfrac13. Como lvert rrvert=tfrac13<1, ela também converge. Sua soma é
sumn=1^inftytfrac19l(tfrac13r)^n =tfrac19cdottfrac131-tfrac13 =tfrac19cdottfrac1/32/3 =tfrac19cdottfrac12 =tfrac118

Passo 5

Como cada uma das duas séries converge absolutamente, a série original converge e sua soma é a diferença das somas:
4-tfrac118 =7218-118 =7118

Resposta

sumn=1^inftyl(12^n-2-13^n+2r) converge (Teste da série geométrica) e
sumn=1^inftyl(tfrac12^n-2-tfrac13^n+2r) =7118

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