Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
h(x)=e^{2};

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo: h(x)=e^{2}".\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
  • A função é h(x)=e^{2}.\n
  • Note que e^{2} é um número constante (não depende de x).\n
  • A tarefa é achar a primitiva mais geral, isto é, uma função H(x) tal que H'(x)=h(x), incluindo a constante de integração.

Passo 2

O que é uma primitiva (antiderivada)?\n
  • Uma função H(x) é primitiva de h(x) se, para todo x do domínio, vale H'(x)=h(x).\n
  • Quando encontramos primitiva, devemos acrescentar uma constante arbitrária C porque derivações eliminam constantes: se H é primitiva, então H+C também é, para qualquer constante C.\n
    Vou usar essa definição para construir a primitiva de h(x)=e^{2}.

Passo 3

Propriedade importante (que vamos usar): a integral de uma constante é a constante vezes x mais C.\n
  • Se k é constante então qualquer primitiva de k é da forma K(x)=kx+C.\n
    Por quê? Porque a derivada de kx é k e a derivada de uma constante é 0:\n
\frac{d}{dx}\bigl(kx+C\bigr)=k+0=k.
Isso mostra que kx+C é uma primitiva de k.

Passo 4

Aplicando ao caso concreto: aqui k=e^{2}.\n
Pela propriedade acima, uma primitiva de h(x)=e^{2} é\n
H(x)=e^{2}x+C.
Também podemos ver isso usando notação de integral:\n
\int e^{2}\,dx = e^{2}\int 1\,dx = e^{2}\bigl(x\bigr)+C = e^{2}x+C,
pois podemos fatorar a constante e^{2} para fora da integral e \int 1\,dx = x + C.

Passo 5

Verificação (sempre bom checar na prova): diferencie H(x)=e^{2}x+C.\n
H'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{2}x+C\bigr)=e^{2},
que é exatamente h(x). Portanto está correto.\n
Respira fundo — estava fácil porque era constante, e você fez direitinho!

Resposta

e^{2}x + C

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