Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
".\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
- A função é
.\n - Note que
é um número constante (não depende de ).\n - A tarefa é achar a primitiva mais geral, isto é, uma função
tal que , incluindo a constante de integração.
Passo 2
O que é uma primitiva (antiderivada)?\n
- Uma função
é primitiva de se, para todo do domínio, vale .\n - Quando encontramos primitiva, devemos acrescentar uma constante arbitrária
porque derivações eliminam constantes: se é primitiva, então também é, para qualquer constante .\n
Vou usar essa definição para construir a primitiva de.
Passo 3
Propriedade importante (que vamos usar): a integral de uma constante é a constante vezes
mais
.\n
- Se
é constante então qualquer primitiva de é da forma .\n
Por quê? Porque a derivada deé e a derivada de uma constante é :\n
Isso mostra que
é uma primitiva de
.
Passo 4
Aplicando ao caso concreto: aqui
.\n
Pela propriedade acima, uma primitiva de é\n
Pela propriedade acima, uma primitiva de
Também podemos ver isso usando notação de integral:\n
pois podemos fatorar a constante
para fora da integral e
.
Passo 5
Verificação (sempre bom checar na prova): diferencie
.\n
que é exatamente
. Portanto está correto.\n
Respira fundo — estava fácil porque era constante, e você fez direitinho!
Respira fundo — estava fácil porque era constante, e você fez direitinho!