Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontre a primitiva (antiderivada) mais geral da função dada.
Informações fornecidas: .
Objetivo: encontrar uma função tal que
e apresentar a primitiva mais geral (incluir a constante arbitrária).
Informações fornecidas:
Objetivo: encontrar uma função
Passo 2
O que é primitiva/antiderivada: uma função
é primitiva de
se ao derivarmos
obtemos
, isto é,
. A primitiva “mais geral” é qualquer primitiva somada a uma constante arbitrária
, porque a derivada de uma constante é zero. Então procuramos
tal que
Passo 3
Propriedade útil (linearidade): a operação de integrar é linear. Ou seja, para constantes
e funções
,
Vamos usar isso para separar a integral em duas partes mais simples.
Passo 4
Aplicando a linearidade ao nosso
,
Factorizando constantes:
Passo 5
Integrando a primeira parte usando a regra da potência: para
,
Aqui
, logo
e
Multiplicando pelo fator
,
Passo 6
Integrando a segunda parte: a função
é o caso especial da regra da potência com
. Nesse caso
onde usamos o valor absoluto porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos; a primitiva para
deve funcionar tanto para
quanto para
. Multiplicando pelo fator
,
Passo 7
Juntando as duas partes e lembrando de somar apenas uma constante arbitrária
no final,
Verificação rápida (para ganhar confiança): derive
:
que é exatamente
. Portanto está correto.