Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
f(x)=\frac{x}{2}-\frac{2}{x};

Passo 1

O enunciado pede: encontre a primitiva (antiderivada) mais geral da função dada.
Informações fornecidas: f(x)=\frac{x}{2}-\frac{2}{x}.
Objetivo: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) e apresentar a primitiva mais geral (incluir a constante arbitrária).

Passo 2

O que é primitiva/antiderivada: uma função F é primitiva de f se ao derivarmos F obtemos f, isto é, F'(x)=f(x). A primitiva “mais geral” é qualquer primitiva somada a uma constante arbitrária C, porque a derivada de uma constante é zero. Então procuramos F(x) tal que
F'(x)=\frac{x}{2}-\frac{2}{x}.

Passo 3

Propriedade útil (linearidade): a operação de integrar é linear. Ou seja, para constantes a,b e funções g,h,
\int (a\,g(x)+b\,h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
Vamos usar isso para separar a integral em duas partes mais simples.

Passo 4

Aplicando a linearidade ao nosso f(x),
\int \left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)\,dx = \int \frac{x}{2}\,dx - \int \frac{2}{x}\,dx.
Factorizando constantes:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx,\qquad \int \frac{2}{x}\,dx = 2\int \frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

Integrando a primeira parte usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x = x^{1}, logo n=1 e
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2},
\frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.

Passo 6

Integrando a segunda parte: a função 1/x é o caso especial da regra da potência com n=-1. Nesse caso
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C,
onde usamos o valor absoluto porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos; a primitiva para 1/x deve funcionar tanto para x>0 quanto para x<0. Multiplicando pelo fator 2,
2\int \frac{1}{x}\,dx = 2\ln|x|.

Passo 7

Juntando as duas partes e lembrando de somar apenas uma constante arbitrária C no final,
F(x)=\frac{x^{2}}{4}-2\ln|x|+C.
Verificação rápida (para ganhar confiança): derive F:
F'(x)=\left(\frac{x^{2}}{4}\right)' - 2\left(\ln|x|\right)' = \frac{x}{2} - 2\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{2}-\frac{2}{x},
que é exatamente f(x). Portanto está correto.

Resposta

F(x)=\frac{x^{2}}{4}-2\ln|x|+C

Exercícios relacionados