Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a primitiva (antiderivada) mais geral da função
.
Informações dadas: a função é para a variável
.
O que se exige: encontrar uma função tal que
, escrevendo a primitiva geral com a constante de integração
.
Informações dadas: a função é
O que se exige: encontrar uma função
Passo 2
Idéia do método (sem resolver ainda): quando temos uma expressão do tipo
, é comum usar substituição para tratar o “bloco interno”
. A substituição troca a variável e transforma a integral numa forma mais simples. Vou explicar a técnica antes de aplicá‑la.
Explicação da técnica (substituição) de modo didático: se escolhermos
como a parte interna, então
. Em integrais, isso permite reescrever
como
, que é direto de integrar. Aqui queremos reconhecer um fator proporcional a
. No nosso caso,
tem derivada
, e na integral aparece um fator
, que é proporcional a
(exatamente a metade). Isso indica que a substituição é apropriada.
Passo 3
Aplicando a substituição: seja
. Então calculemos
.
Derivando
em relação a
:
.
Isolando :
.
Isolando
Agora reescrevemos a integral da primitiva:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Integrando em
: lembrando a regra básica de potência para integrais, para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que tínhamos:
Passo 5
Voltando para a variável
: substituímos
de volta:
Essa é a primitiva geral.
Passo 6
Verificação (checagem rápida para ganhar confiança): derivando
pelo uso da regra da cadeia:
que coincide com
. Portanto a primitiva está correta.