Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
f(v)=v\left(v^{2}+2\right)^{2};

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a primitiva (antiderivada) mais geral da função \;f(v)=v\left(v^{2}+2\right)^{2}\;.
Informações dadas: a função é \;f(v)=v(v^{2}+2)^{2}\; para a variável v.
O que se exige: encontrar uma função F(v) tal que F'(v)=f(v), escrevendo a primitiva geral com a constante de integração C.

Passo 2

Idéia do método (sem resolver ainda): quando temos uma expressão do tipo \;v\cdot (v^{2}+2)^{2}\;, é comum usar substituição para tratar o “bloco interno” (v^{2}+2). A substituição troca a variável e transforma a integral numa forma mais simples. Vou explicar a técnica antes de aplicá‑la.
Explicação da técnica (substituição) de modo didático: se escolhermos \;u=g(v)\; como a parte interna, então \;du=g'(v)\,dv\;. Em integrais, isso permite reescrever \;g'(v)\, [g(v)]^{n}\,dv\; como \;[u]^{n}\,du\;, que é direto de integrar. Aqui queremos reconhecer um fator proporcional a g'(v). No nosso caso, g(v)=v^{2}+2 tem derivada g'(v)=2v, e na integral aparece um fator v\,dv, que é proporcional a g'(v) (exatamente a metade). Isso indica que a substituição é apropriada.

Passo 3

Aplicando a substituição: seja \;u=v^{2}+2\;. Então calculemos du.
Derivando u em relação a v: \;du = 2v\,dv\;.
Isolando v\,dv: \;v\,dv = \dfrac{1}{2}\,du\;.
Agora reescrevemos a integral da primitiva:
\int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,dv
Substituindo \;u=(v^{2}+2)\; e \;v\,dv=\dfrac{1}{2}du\;, obtemos
\int v\left(v^{2}+2\right)^{2}\,dv = \int u^{2}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{2}\,du.

Passo 4

Integrando em u: lembrando a regra básica de potência para integrais, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=2, então
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}+C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} que tínhamos:
\frac{1}{2}\int u^{2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3}}{3} + C = \frac{u^{3}}{6} + C.

Passo 5

Voltando para a variável v: substituímos u=v^{2}+2 de volta:
F(v) = \frac{\left(v^{2}+2\right)^{3}}{6} + C.
Essa é a primitiva geral.

Passo 6

Verificação (checagem rápida para ganhar confiança): derivando F(v) pelo uso da regra da cadeia:
F'(v) = \frac{1}{6}\cdot 3\left(v^{2}+2\right)^{2}\cdot 2v = v\left(v^{2}+2\right)^{2},
que coincide com f(v). Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{\left(v^{2}+2\right)^{3}}{6}+C

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