Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a primitiva (antiderivada) mais geral de
.
Informações dadas: a função é exatamente .
Nenhuma outra informação foi fornecida.
Informações dadas: a função é exatamente
Nenhuma outra informação foi fornecida.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão para facilitar a integração. Dividimos cada termo do numerador por
:
Agora simplificamos o segundo termo:
Usamos a notação trigonométrica padrão
, então
Passo 3
Agora vamos integrar termo a termo. Lembre-se: a primitiva de uma soma é a soma das primitivas. Precisamos, portanto, de primitivadas de
e de
.
- A primitiva de
em relação a é , porque . - A primitiva de
é . Vou explicar por que: sabemos que . Usando a regra do quociente (ou conhecendo a derivada padrão), obtemos
Portanto,
, o que implica que uma primitiva de
é
.
Passo 4
Somando as primitivas dos termos, a primitiva geral de
é
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 5
Verificação rápida (útil para a prova): derivando o resultado, devemos voltar à função original.
que bate com o integrando simplificado. Logo a primitiva está correta.
Passo 6
Observação sobre domínio (importante numa prova): a função original
não está definida nos pontos onde
, isto é, em
para
. A primitiva geral
vale em qualquer intervalo onde
(por exemplo
); ao cruzar um ponto onde
se anula, a constante de integração pode mudar.