Encontre a primitiva (antiderivada) mais geral de cada função dada abaixo:
f(\theta)=\frac{1+\cos ^{2}(\theta)}{\cos ^{2}(\theta)};

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a primitiva (antiderivada) mais geral de f(\theta)=\frac{1+\cos^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}.
Informações dadas: a função é exatamente \displaystyle f(\theta)=\frac{1+\cos^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}.
Nenhuma outra informação foi fornecida.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão para facilitar a integração. Dividimos cada termo do numerador por \cos^{2}(\theta):
\frac{1+\cos^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}=\frac{1}{\cos^{2}(\theta)}+\frac{\cos^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}.
Agora simplificamos o segundo termo:
\frac{1+\cos^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}=\frac{1}{\cos^{2}(\theta)}+1.
Usamos a notação trigonométrica padrão \operatorname{sec}(\theta)=\dfrac{1}{\cos(\theta)}, então
\frac{1+\cos^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}= \operatorname{sec}^{2}(\theta)+1.

Passo 3

Agora vamos integrar termo a termo. Lembre-se: a primitiva de uma soma é a soma das primitivas. Precisamos, portanto, de primitivadas de 1 e de \operatorname{sec}^{2}(\theta).
  • A primitiva de 1 em relação a \theta é \theta, porque \dfrac{d}{d\theta}\theta=1.
  • A primitiva de \operatorname{sec}^{2}(\theta) é \tan(\theta). Vou explicar por que: sabemos que \tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}. Usando a regra do quociente (ou conhecendo a derivada padrão), obtemos
\frac{d}{d\theta}\tan(\theta)=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right) =\frac{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} =\frac{1}{\cos^{2}\theta}=\operatorname{sec}^{2}\theta.
Portanto, \dfrac{d}{d\theta}\tan(\theta)=\operatorname{sec}^{2}(\theta), o que implica que uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}(\theta) é \tan(\theta).

Passo 4

Somando as primitivas dos termos, a primitiva geral de f(\theta)=\operatorname{sec}^{2}(\theta)+1 é
\theta+\tan(\theta)+C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 5

Verificação rápida (útil para a prova): derivando o resultado, devemos voltar à função original.
\frac{d}{d\theta}\big(\theta+\tan(\theta)+C\big)=1+\operatorname{sec}^{2}(\theta)=\operatorname{sec}^{2}(\theta)+1,
que bate com o integrando simplificado. Logo a primitiva está correta.

Passo 6

Observação sobre domínio (importante numa prova): a função original \displaystyle\frac{1+\cos^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)} não está definida nos pontos onde \cos(\theta)=0, isto é, em \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi para k\in\mathbb{Z}. A primitiva geral \theta+\tan(\theta)+C vale em qualquer intervalo onde \cos(\theta)\neq0 (por exemplo (-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\tfrac{\pi}{2}+k\pi)); ao cruzar um ponto onde \cos se anula, a constante de integração pode mudar.

Resposta

\theta+\tan(\theta)+C

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