Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f(x)=x-3

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x-3 e pede duas coisas:
  • Encontrar a primitiva mais geral (ou seja, todas as antiderivadas) de f.
  • Verificar a resposta derivando a primitiva obtida.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é f(x)=x-3.
  • Deve-se apresentar a primitiva mais geral (incluir a constante de integração).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadinhos):
  • Definição: uma função F(x) é uma primitiva de f(x) se \,F'(x)=f(x).
  • Linearidade da integral: para constantes a,b e funções g,h,
\int \bigl(a\,g(x)+b\,h(x)\bigr)\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
Isto permite separar somas e constantes.
  • Regra do poder (antiderivada): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração (representa todas as primitivas que diferem por uma constante).
  • Antiderivada de constante: para constante k,
\int k\,dx = kx + C.
Exemplos rápidos para fixar:
  • \int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}+C = x^{2}+C.
  • \int 5\,dx = 5x + C.

Passo 3

Aplicando a linearidade à integral de f(x)=x-3:
\int (x-3)\,dx = \int x\,dx - 3\int 1\,dx.
Agora uso a regra do poder para \int x\,dx (aqui x = x^{1}, então n=1):
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = \frac{x^{2}}{2} + C_1.
E uso a regra da constante para \int 1\,dx:
\int 1\,dx = x + C_2.

Passo 4

Somando os resultados das duas integrais:
\int (x-3)\,dx = \left(\frac{x^{2}}{2}+C_1\right) - 3\left(x+C_2\right).
Agrupando termos constantes ( C_1-3C_2 é só uma constante qualquer que chamo de C), obtemos a primitiva mais geral
F(x)=\frac{x^{2}}{2}-3x + C.

Passo 5

Verificação (derivando F para ver se volta em f):
  • Derivada de \frac{x^{2}}{2} pelo regra do poder: \displaystyle\left(\frac{x^{2}}{2}\right)' = \frac{2x}{2}=x.
  • Derivada de -3x: \displaystyle(-3x)' = -3.
  • Derivada da constante C é 0.
Somando:
F'(x)=x-3,
que é exatamente f(x). Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{x^{2}}{2}-3x+C

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