Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar a primitiva mais geral (ou seja, todas as antiderivadas) de
. - Verificar a resposta derivando a primitiva obtida.
Informações relevantes fornecidas:
- A função a integrar é
. - Deve-se apresentar a primitiva mais geral (incluir a constante de integração).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadinhos):
- Definição: uma função
é uma primitiva de se . - Linearidade da integral: para constantes
e funções ,
Isto permite separar somas e constantes.
- Regra do poder (antiderivada): para
,
onde
é a constante de integração (representa todas as primitivas que diferem por uma constante).
- Antiderivada de constante: para constante
,
Exemplos rápidos para fixar:
Passo 3
Aplicando a linearidade à integral de
:
Agora uso a regra do poder para
(aqui
, então
):
E uso a regra da constante para
:
Passo 4
Somando os resultados das duas integrais:
Agrupando termos constantes (
é só uma constante qualquer que chamo de
), obtemos a primitiva mais geral
Passo 5
Verificação (derivando
para ver se volta em
):
- Derivada de
pelo regra do poder: - Derivada de
: - Derivada da constante
é .
Somando:
que é exatamente
. Portanto a primitiva está correta.