Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f^prime(t)=4 /(1+t^2), f(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva geral de uma função cujo derivada é dada por f'(t)=41+t^2 e ainda satisfaz a condição inicial f(1)=0. O conteúdo principal aqui é integração de funções do tipo 11+t^2, cuja primitiva é arctan(t).

Passo 2

Para obter f(t), integramos f'(t):
f(t)=integral 41+t^2,dt = 4integral 11+t^2,dt = 4arctan(t) + C

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial f(1)=0. Calculamos:
pi + C = 0
Como isso deve ser zero, temos C = -pi, ou seja, .

Passo 4

Substituindo C em f(t) obtemos a primitiva que satisfaz a condição inicial. Além disso, derivar este resultado devolve f'(t)=4/(1+t^2), confirmando que está correto.

Resposta

f(t)=4arctan(t)-pi

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