Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f^prime(x)=1+3 raizx, f(4)=25

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de f’(x)=1+3\sqrt{x}, ou seja, a função f(x) tal que f’(x)=1+3\sqrt{x}, além de usar a condição f(4)=25. O conteúdo aqui é integração indefinida (antiderivada) e depois aplicação de condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Vamos calcular a antiderivada de cada termo de f’(x). Primeiro,
integral 1,dx = x
integral 3raizx,dx = 3integral x^tfrac12,dx = 3cdot x^tfrac32tfrac32 = 2x^tfrac32
Somando essas parcelas, a primitiva geral é
$$
f(x) = x + 2x^{\tfrac32} + C
$$

Passo 3

Agora aplicamos a condição f(4)=25:
f(4) = 4 + 2cdot4^tfrac32 + C = 4 + 2cdot8 + C = 4 + 16 + C = 20 + C = 25
Logo C = 5.

Passo 4

Para verificar, derivamos f(x):
f'(x) = ddxl(x + 2x^tfrac32 + 5r) = 1 + 2cdot 32x^tfrac12 = 1 + 3raizx
que coincide com f’(x).

Resposta

f(x) = x + 2x^tfrac32 + 5

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