Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma primitiva de f’(x)=1+3\sqrt{x}, ou seja, a função f(x) tal que f’(x)=1+3\sqrt{x}, além de usar a condição f(4)=25. O conteúdo aqui é integração indefinida (antiderivada) e depois aplicação de condição inicial para achar a constante de integração.
Passo 2
Vamos calcular a antiderivada de cada termo de f’(x). Primeiro,
Somando essas parcelas, a primitiva geral é
$$
f(x) = x + 2x^{\tfrac32} + C
$$
Passo 3
Agora aplicamos a condição f(4)=25:
Logo C = 5.
Passo 4
Para verificar, derivamos f(x):
que coincide com f’(x).