Uma força de 13 N é necessária para manter uma mola presa a uma massa de 2 kg esticada 0,25 m além de seu comprimento natural. A constante de amortecimento da mola é c=8. Se a massa começa na posição de equilíbrio com velocidade de 0,5 m / s :
(a) encontre a posição no instante t;
(b) determine a massa que produziria amortecimento crítico.

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem um sistema massa-mola-amortecedor. A massa é m = 2 kg, a mola tem constante k que a gente vai achar a partir da força de 13 N pra esticar 0,25 m, e o amortecedor tem c = 8 N·s/m. O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem com amortecimento, e vamos precisar montar essa EDO, resolver pelas raízes da equação característica e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A constante da mola sai de F = k x, ou seja k = 13 N / 0,25 m = 52 N/m. Montando a equação de movimento do sistema massa-mola-amortecedor, usando m x’’ + c x’ + k x = 0, a gente tem:
2x'' + 8x' + 52x = 0
Dividindo por 2:
x'' + 4x' + 26x = 0

Passo 3

Para resolver, escrevemos a equação característica:
r^2 + 4r + 26 = 0
Suas raízes são
r = -4 pm raiz16 - 1042 = -2 pm iraiz22
Isso mostra amortecimento subcrítico. A solução geral é
x(t) = e^-2tl(Acos(raiz22,t) + Bsin(raiz22,t)r)

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais: a massa parte da posição de equilíbrio, então x(0) = 0, e com velocidade inicial x’(0) = 0,5 m/s. Em t = 0:
  • x(0) = A = 0
  • x’(t) = e^{-2t}[ -2(A\cos(\sqrt{22}t)+B\sin(\sqrt{22}t)) + (-A\sqrt{22}\sin(\sqrt{22}t)+B\sqrt{22}\cos(\sqrt{22}t)) ].
    Em t = 0 isso dá x’(0) = B\sqrt{22} = 0,5, logo B = 0,5 / \sqrt{22}.

Passo 5

Substituindo A = 0 e B na solução geral, obtemos:
x(t) = 0,5raiz22,e^-2tsinl(raiz22,tr)

Passo 6

Para o amortecimento crítico, a condição é c^2 - 4mk = 0, ou seja m = c^2/(4k). Substituindo c = 8 e k = 52:
m = 8^24cdot52 = 64208 approx 0,3077 kg

Resposta

A posição é given por x(t) = 0,5raiz22,e^-2tsin(raiz22,t). A massa que produz amortecimento crítico é m = 8^24cdot52 = 64208 approx 0,3077 kg.

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