Qual a reta tangente ao gráfico da função tg(x) no ponto (0, tg(0)) ? Essa reta aproxima a função nessa localidade? Sim ou não? Por que?

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar a reta tangente ao gráfico da função tan(x) no ponto (0,tan(0)). O conteúdo é derivadas e linearização de funções. Para resolver, precisamos calcular o valor de tan(0), a derivada ddxtan(x) nesse ponto e usar a fórmula da reta tangente y = f'(x0)(x - x0) + f(x0).

Passo 2

Primeiro, calculamos tan(0)=0, então o ponto de tangência é (0,0). Depois, lembramos que ddxtan(x)=sec^2(x). Avaliando em x=0 obtemos sec^2(0)=1. Logo, o coeficiente angular da reta é 1.

Passo 3

Aplicando a fórmula da reta tangente com x0=0, f'(0)=1 e f(0)=0, temos
y = 1cdot(x-0) + 0 Longrightarrow y = x

Passo 4

Sobre a aproximação local: sim. A reta tangente fornece a aproximação de primeira ordem da função perto de x=0. Como tan(x)approx x para x pequeno, a reta y=x aproxima bem o gráfico de tan(x) nessa região.

Resposta

A reta tangente é y=x. Sim, ela aproxima a função localmente porque a reta tangente fornece a aproximação linear de primeira ordem e tan(x)approx x para valores pequenos de x.

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