Qual a reta tangente ao gráfico da função
no ponto
? Essa reta aproxima a função nessa localidade? Sim ou não? Por que?
Passo 1
Neste exercício vamos encontrar a reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. O conteúdo é derivadas e linearização de funções. Para resolver, precisamos calcular o valor de
, a derivada
nesse ponto e usar a fórmula da reta tangente
.
Passo 2
Primeiro, calculamos
, então o ponto de tangência é
. Depois, lembramos que
. Avaliando em
obtemos
. Logo, o coeficiente angular da reta é
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da reta tangente com
,
e
, temos
Passo 4
Sobre a aproximação local: sim. A reta tangente fornece a aproximação de primeira ordem da função perto de
. Como
para
pequeno, a reta
aproxima bem o gráfico de
nessa região.
Resposta
A reta tangente é
. Sim, ela aproxima a função localmente porque a reta tangente fornece a aproximação linear de primeira ordem e
para valores pequenos de
.