Encontre a primitiva e justifique.
\int \arctan x d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de
\int \arctan x \, dx
Ou seja, precisamos achar uma função F(x) tal que F'(x)=\arctan x. O método mais indicado é a integração por partes, pois temos um produto implícito entre \arctan x e 1.

Passo 2

Na integração por partes usamos
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Escolhemos
u = \arctan x, \quad dv = dx.
Então calculamos
du = \frac{1}{1+x^2}\,dx, \quad v = \int dv = \int dx = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula:
\int \arctan x\,dx = u\,v - \int v\,du = x\arctan x \;-\;\int x\cdot\frac{1}{1+x^2}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \frac{x}{1+x^2}\,dx, note que a derivada de 1+x^2 é 2x. Logo,
\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac12 \int \frac{2x}{1+x^2}\,dx = \frac12 \ln\bigl(1+x^2\bigr).

Passo 5

Substituindo de volta:
\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac12 \ln\bigl(1+x^2\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

F(x) = x\arctan x \;-\;\tfrac12 \ln\bigl(1+x^2\bigr) + C.

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