Dada a matriz \mathbf{H} que relaciona duas variáveis em um experimento:
\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right]
Encontre sua inversa (se existir) e use-a para resolver \mathbf{H X}=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 7\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathbf{H} = \begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]2 & 3\end{pmatrix}
e pede (1) a inversa dessa matriz, se existir, e (2) a solução do sistema \mathbf{H}\,\mathbf{X} = \begin{pmatrix}4\\[3pt]7\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2 e a resolução de um sistema linear via multiplicação pela inversa.]

Passo 2

Para verificar se a inversa existe, calculamos o determinante de \mathbf{H} usando
\det(\mathbf{H}) = a d - b c
onde a=1, b=-1, c=2 e d=3. Logo,
\det(\mathbf{H}) = 1\cdot 3 - (-1)\cdot 2 = 3 + 2 = 5 \neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, a inversa existe.

Passo 3

A fórmula da inversa de \displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
é
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}^{-1} =\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando com a=1, b=-1, c=2, d=3 e \det(\mathbf{H})=5, obtemos
\mathbf{H}^{-1} =\frac{1}{5} \begin{pmatrix}3 & -(-1)\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{5} \begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para resolver \mathbf{H}\,\mathbf{X}=\mathbf{b} com \mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\\ 7\end{pmatrix}, usamos
\mathbf{X} = \mathbf{H}^{-1}\,\mathbf{b}.
Então
\mathbf{X} =\frac{1}{5} \begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\[3pt]7\end{pmatrix} =\frac{1}{5} \begin{pmatrix}3\cdot4 + 1\cdot7 \\[4pt]-2\cdot4 + 1\cdot7\end{pmatrix} =\frac{1}{5} \begin{pmatrix}19\\[3pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}19/5\\[3pt]-1/5\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{H}^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}, \displaystyle \mathbf{X} = \begin{pmatrix}19/5\\[3pt]-1/5\end{pmatrix}.]

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