Encontre a primitiva e justifique.
\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva da integral
\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{4+x^{2}}}\,dx
O conteúdo principal aqui é “integração por substituição trigonométrica” para eliminar a raiz do tipo \sqrt{a^{2}+x^{2}}.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
x = 2\tan\theta, \quad dx = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta
e observamos que
\sqrt{4 + x^{2}} = \sqrt{4 + 4\tan^{2}\theta} = 2\operatorname{sec}\theta.
Além disso,
x^{2} = 4\tan^{2}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{4+x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{4\tan^{2}\theta \,\cdot 2\operatorname{sec}\theta}\,\bigl(2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta\bigr).
Simplificando fatores:
\frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta}{8\tan^{2}\theta\,\operatorname{sec}\theta} = \frac{1}{4}\,\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\tan^{2}\theta\,\operatorname{sec}\theta} = \frac{1}{4}\,\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta} = \frac{1}{4}\,\frac{1/\cos\theta}{\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta} = \frac{1}{4}\,\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta} = \frac{1}{4}\,\cot\theta\,\csc\theta.
Logo a integral vira
\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{4+x^{2}}}\,dx = \frac{1}{4}\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta = -\csc\theta + C.
Portanto
\frac{1}{4}\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta = -\frac{1}{4}\,\csc\theta + C.

Passo 5

Agora voltamos à variável x. Da substituição x=2\tan\theta temos
\tan\theta = \frac{x}{2}, \quad \text{logo num triângulo de catetos }(2,x)\text{ e hipotenusa }\sqrt{x^{2}+4},â
\sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} \quad\Longrightarrow\quad \csc\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x}.
Substituindo em -\tfrac{1}{4}\csc\theta
-\frac{1}{4}\,\csc\theta = -\frac{1}{4}\,\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x} = -\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{4\,x}.

Resposta

-\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{4\,x} + C

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