(1)Calcule a derivada utilizando a definição:
f(x)=x-1x+1

Passo 1

Temos a função f(x)=x-1x+1. O objetivo é calcular a derivada usando a definição de derivada, que envolve o limite do quociente incremental.

Passo 2

A definição de derivada é dada por:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 3

Primeiro, calculamos f(x+h):
f(x+h)=(x+h)-1(x+h)+1=x+h-1x+h+1

Passo 4

Substituindo na definição, temos o quociente:
f(x+h)-f(x)h=x+h-1x+h+1-x-1x+1h
Para subtrair as frações, usamos o denominador comum (x+h+1)(x+1) e obtemos no numerador:
(x+h-1)(x+1)-(x-1)(x+h+1)
Expandindo:
$ (x+h-1)(x+1)=x^2+xh+h-1 $ e $ (x-1)(x+h+1)=x^2+xh-h-1 $. Logo a diferença é (x+h-1)(x+1)=x^2+xh+h-1 . Assim o quociente vira:
(x-1)(x+h+1)=x^2+xh-h-1

Passo 5

Por fim, aplicamos o limite quando hto0:
f'(x)=limhto02(x+h+1)(x+1)=2(x+1)^2

Resposta

dfrac2(x+1)^2

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