Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
\int \frac{x d x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
\displaystyle \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}, lembrando de incluir a constante de integração; (2) indicar intervalos de integração compatíveis com o domínio da função e calcular integrais definidas nesses intervalos.
Informações dadas importantes: a integranda é \displaystyle \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}. Observação sobre o domínio: o denominador \left(x^{2}+1\right)^{3} nunca zera para x\in\mathbb{R}, logo a função está definida para todo x\in\mathbb{R}. Também vale notar (apenas como informação que ajudará depois) que a função é ímpar, porque o numerador é ímpar e o denominador é par.

Passo 2

Escolha do método: aqui é natural usar a substituição u = x^{2}+1, porque a derivada de u é du = 2x\,dx, ou seja, aparece x\,dx na integração — combinando perfeitamente com nosso numerador. Vou explicar a técnica de substituição de forma curta: quando u é função de x e aparece u'(x)\,dx no integrando, podemos trocar a variável para u e integrar mais facilmente usando \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1). Aqui aplicamos isso.
Aplicando a substituição:
u = x^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral:
\int \frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{3}} = \int \frac{\tfrac{1}{2}\,du}{u^{3}} = \tfrac{1}{2}\int u^{-3}\,du.
Agora usamos a fórmula de potências:
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\tfrac{1}{2}u^{-2} + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que ficou fora:
\tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}u^{-2}\right)+C = -\tfrac{1}{4}u^{-2} + C.
Voltando para x (isto é, u=x^{2}+1), obtemos a primitiva geral:
\boxed{F(x) = -\tfrac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{-2} + C.}

Passo 3

Verificação rápida (sempre bom na prova): derivando F(x) deve voltar a integranda. Calcule:
F'(x) = -\tfrac{1}{4}\cdot (-2)\left(x^{2}+1\right)^{-3}\cdot 2x = x\left(x^{2}+1\right)^{-3},
que é exatamente a função integranda. Portanto a primitiva está correta.
Comentário sobre domínio e intervalos de integração: como dito no Passo 1, a integranda está definida para todo x\in\mathbb{R}. Portanto qualquer intervalo fechado [a,b] com a,b\in\mathbb{R} é um intervalo válido de integração. Para integrais impróprias que envolvam \pm\infty também podemos tratar usando limites, pois a primitiva tem comportamento bem definido quando |x|\to\infty (ela tende a 0).

Passo 4

Fórmula geral para integrais definidas: para quaisquer a,b\in\mathbb{R},
\int_{a}^{b}\frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{3}} = F(b)-F(a) = -\tfrac{1}{4}\Big[(b^{2}+1)^{-2}-(a^{2}+1)^{-2}\Big].
Observações úteis para a prova:
  • Como a função é ímpar, ou seja \displaystyle f(-x) = -f(x), toda integral sobre um intervalo simétrico em torno de zero zera:
\int_{-A}^{A}\frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{3}} = 0 \quad\text{para todo } A>0.
  • Para integrais impróprias no infinito, usando a primitiva:
\lim_{R\to\infty}F(R)=0,\qquad \lim_{R\to -\infty}F(R)=0,
então
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{3}}=0.

Passo 5

Alguns exemplos concretos (para você praticar e memorizar o procedimento):
  1. Integral de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{3}} = -\tfrac{1}{4}\Big[(1^{2}+1)^{-2}-(0^{2}+1)^{-2}\Big] = -\tfrac{1}{4}\Big[(2)^{-2}-1\Big] = -\tfrac{1}{4}\Big[\tfrac{1}{4}-1\Big] = \tfrac{3}{16}.
  1. Integral de -1 a 1: como a função é ímpar,
\int_{-1}^{1}\frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{3}} = 0.
  1. Integral de -\infty a \infty: usando os limites da primitiva,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{3}} = 0.

Resposta

Primitiva: -\tfrac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{-2} + C.
Intervalos de integração: qualquer intervalo [a,b]\subset\mathbb{R} (domínio é todo \mathbb{R}).
Integral definida geral: \displaystyle \int_{a}^{b}\frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{3}} = -\tfrac{1}{4}\Big[(b^{2}+1)^{-2}-(a^{2}+1)^{-2}\Big].
Exemplos: \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{3}}=\tfrac{3}{16}.
\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{3}}=0.
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{3}}=0.

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