Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
, lembrando de incluir a constante de integração; (2) indicar intervalos de integração compatíveis com o domínio da função e calcular integrais definidas nesses intervalos.
Informações dadas importantes: a integranda é . Observação sobre o domínio: o denominador
nunca zera para
, logo a função está definida para todo
. Também vale notar (apenas como informação que ajudará depois) que a função é ímpar, porque o numerador é ímpar e o denominador é par.
Informações dadas importantes: a integranda é
Passo 2
Escolha do método: aqui é natural usar a substituição
, porque a derivada de
é
, ou seja, aparece
na integração — combinando perfeitamente com nosso numerador. Vou explicar a técnica de substituição de forma curta: quando
é função de
e aparece
no integrando, podemos trocar a variável para
e integrar mais facilmente usando
(para
). Aqui aplicamos isso.
Aplicando a substituição:
Substituindo na integral:
Agora usamos a fórmula de potências:
Multiplicando pelo fator
que ficou fora:
Voltando para
(isto é,
), obtemos a primitiva geral:
Passo 3
Verificação rápida (sempre bom na prova): derivando
deve voltar a integranda. Calcule:
que é exatamente a função integranda. Portanto a primitiva está correta.
Comentário sobre domínio e intervalos de integração: como dito no Passo 1, a integranda está definida para todo
. Portanto qualquer intervalo fechado
com
é um intervalo válido de integração. Para integrais impróprias que envolvam
também podemos tratar usando limites, pois a primitiva tem comportamento bem definido quando
(ela tende a
).
Passo 4
Fórmula geral para integrais definidas: para quaisquer
,
Observações úteis para a prova:
- Como a função é ímpar, ou seja
, toda integral sobre um intervalo simétrico em torno de zero zera:
- Para integrais impróprias no infinito, usando a primitiva:
então
Passo 5
Alguns exemplos concretos (para você praticar e memorizar o procedimento):
- Integral de
a :
- Integral de
a : como a função é ímpar,
- Integral de
a : usando os limites da primitiva,
Resposta
Primitiva:
Intervalos de integração: qualquer intervalo (domínio é todo
).
Integral definida geral:
Exemplos:
Intervalos de integração: qualquer intervalo
Integral definida geral:
Exemplos: