Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar as primitivas da função cujo integrando é
; (2) determinar os intervalos onde faz sentido definir integrais dessa função e calcular as integrais definidas nesses intervalos (lembrando das constantes de integração e dos domínios).\n
Informações dadas e observações imediatas que precisamos ter em mente: \n
Informações dadas e observações imediatas que precisamos ter em mente: \n
- A variável é
. \n - O integrando é
. \n - Há preocupação com domínios porque há divisão por
(logo ) e uma potência fracionária que, no contexto de funções reais, exige que a base esteja não negativa. \n - Não faço ainda nenhuma conta; só identifiquei o que é pedido e as restrições que já aparecem no enunciado.
Passo 2
Vou procurar uma substituição óbvia: note que a derivada de
com respeito a
é exatamente
. Escrevo isso explicitamente para você ver a ideia: \n
Então se eu definir a nova variável
, obtemos
. \n
Isso significa que o integrando se transforma de forma direta: \n
Isso significa que o integrando se transforma de forma direta: \n
Aqui usei a substituição e a regra da cadeia no sentido inverso (substituição para antiderivação). Nota importante sobre domínio: essa troca
é válida somente para
. Além disso, para a expressão
ser real precisamos de
. Vamos tratar isso depois com calma.
Passo 3
Agora integremos em
. Lembra da regra básica de potências para primitiva: se
então
. Aqui
, então
e
. Portanto: \n
Voltando à variável
(substituição inversa
), obtemos uma primitiva explícita: \n
Não esqueça do
: toda primitiva tem essa constante.
Passo 4
Agora vamos discutir o domínio real onde essa primitiva e a integral original fazem sentido. Já vimos duas restrições:
(por causa de
) e precisamos de
para que a potência
(e
) sejam reais. Vamos resolver a desigualdade
para valores reais de
: \n
- Se
, multiplicando por obtemos , que é sempre verdadeira. Logo para todo temos . \n - Se
, multiplicando por inverte-se a desigualdade: , o que é impossível (pois sempre). Logo nunca temos quando . \n
Conclusão: para a função real dada, o domínio (onde o integrando é real e definido) é. Em qualquer intervalo fechado com a função é contínua e logo integrável em sentido usual. A primitiva é válida em qualquer intervalo contido em .
Passo 5
Cálculo da integral definida em um intervalo genérico
com
. Seja
uma primitiva (escolhi a primitiva sem
para avaliar a diferença). Então, pela fórmula de Newton–Leibniz: \n
Isto vale para quaisquer
. Assim as integrais definidas sobre intervalos contidos em
existem e são calculadas por essa fórmula.
Passo 6
Comportamento nas extremidades do domínio (integral imprópria). É natural perguntar sobre integrais como
ou
ou
. Vamos ver a convergência: \n
- Comportamento quando
: temos . Então e . O produto se comporta como , que não é integrável próximo a (a antiderivada aproximada daria termo em divergindo). Usando a primitiva exata vemos . Portanto (imprópria) diverge (vai para quando avaliado como com , porque ). \n - Comportamento quando
: temos , então integrando comporta-se como e a primitiva cresce como . Assim . Portanto (imprópria) também diverge para . \n - Conclusão: as integrais impróprias que tocam
ou divergem; somente integrais definidas em intervalos fechados contidos em são finitas.
Resposta
Primitiva:
, válida para
.\n
Integral definida em com
:
\n
As integrais impróprias e
(e
) não convergem; portanto não são finitas como integrais próprias.
Integral definida em
As integrais impróprias