Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
\int\left(t+\frac{1}{t}\right)^{3 / 2}\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar as primitivas da função cujo integrando é \left(t+\frac{1}{t}\right)^{3/2}\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right); (2) determinar os intervalos onde faz sentido definir integrais dessa função e calcular as integrais definidas nesses intervalos (lembrando das constantes de integração e dos domínios).\n
Informações dadas e observações imediatas que precisamos ter em mente: \n
  • A variável é t. \n
  • O integrando é \left(t+\frac{1}{t}\right)^{3/2}\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right). \n
  • Há preocupação com domínios porque há divisão por t (logo t\neq 0) e uma potência fracionária \left(\cdot\right)^{3/2} que, no contexto de funções reais, exige que a base esteja não negativa. \n
  • Não faço ainda nenhuma conta; só identifiquei o que é pedido e as restrições que já aparecem no enunciado.

Passo 2

Vou procurar uma substituição óbvia: note que a derivada de t+\frac{1}{t} com respeito a t é exatamente 1-\frac{1}{t^{2}}. Escrevo isso explicitamente para você ver a ideia: \n
\frac{d}{dt}\!\left(t+\frac{1}{t}\right)=1-\frac{1}{t^{2}}.
Então se eu definir a nova variável \;u = t+\frac{1}{t}\;, obtemos \;du = \left(1-\frac{1}{t^{2}}\right) dt\;. \n
Isso significa que o integrando se transforma de forma direta: \n
\left(t+\frac{1}{t}\right)^{3/2}\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right)dt = u^{3/2}\,du.
Aqui usei a substituição e a regra da cadeia no sentido inverso (substituição para antiderivação). Nota importante sobre domínio: essa troca u=t+1/t é válida somente para t\neq 0. Além disso, para a expressão u^{3/2} ser real precisamos de u\ge 0. Vamos tratar isso depois com calma.

Passo 3

Agora integremos em u. Lembra da regra básica de potências para primitiva: se n\neq -1 então \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n=\dfrac{3}{2}, então n+1=\dfrac{5}{2} e \dfrac{1}{n+1}=\dfrac{2}{5}. Portanto: \n
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}\,u^{5/2} + C.
Voltando à variável t (substituição inversa u=t+\frac{1}{t}), obtemos uma primitiva explícita: \n
F(t)=\frac{2}{5}\left(t+\frac{1}{t}\right)^{5/2}+C.
Não esqueça do +C: toda primitiva tem essa constante.

Passo 4

Agora vamos discutir o domínio real onde essa primitiva e a integral original fazem sentido. Já vimos duas restrições: t\neq 0 (por causa de 1/t) e precisamos de t+\frac{1}{t}\ge 0 para que a potência ^{3/2} (e ^{5/2}) sejam reais. Vamos resolver a desigualdade \;t+\frac{1}{t}\ge 0\; para valores reais de t: \n
  • Se t>0, multiplicando por t>0 obtemos t^{2}+1\ge 0, que é sempre verdadeira. Logo para todo t>0 temos t+\frac{1}{t}>0. \n
  • Se t<0, multiplicando por t<0 inverte-se a desigualdade: t^{2}+1\le 0, o que é impossível (pois t^{2}+1>0 sempre). Logo nunca temos t+\frac{1}{t}\ge 0 quando t<0. \n
    Conclusão: para a função real dada, o domínio (onde o integrando é real e definido) é (0,\infty). Em qualquer intervalo fechado [a,b] com 0<a<b a função é contínua e logo integrável em sentido usual. A primitiva F(t)=\dfrac{2}{5}\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^{5/2}+C é válida em qualquer intervalo contido em (0,\infty).

Passo 5

Cálculo da integral definida em um intervalo genérico [a,b] com 0<a<b. Seja F(t)=\dfrac{2}{5}\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^{5/2} uma primitiva (escolhi a primitiva sem +C para avaliar a diferença). Então, pela fórmula de Newton–Leibniz: \n
\int_{a}^{b}\left(t+\frac{1}{t}\right)^{3/2}\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right)\,dt =F(b)-F(a) =\frac{2}{5}\left[\left(b+\frac{1}{b}\right)^{5/2}-\left(a+\frac{1}{a}\right)^{5/2}\right].
Isto vale para quaisquer 0<a<b. Assim as integrais definidas sobre intervalos contidos em (0,\infty) existem e são calculadas por essa fórmula.

Passo 6

Comportamento nas extremidades do domínio (integral imprópria). É natural perguntar sobre integrais como \int_{0}^{c} ou \int_{c}^{\infty} ou \int_{0}^{\infty}. Vamos ver a convergência: \n
  • Comportamento quando t\to 0^{+}: temos t+\frac{1}{t}\sim \frac{1}{t}. Então \left(t+\frac{1}{t}\right)^{3/2}\sim t^{-3/2} e 1-\frac{1}{t^{2}}\sim -\frac{1}{t^{2}}. O produto se comporta como -t^{-7/2}, que não é integrável próximo a 0^{+} (a antiderivada aproximada daria termo em t^{-5/2} divergindo). Usando a primitiva exata vemos \lim_{t\to 0^{+}}F(t)=\lim_{t\to 0^{+}}\dfrac{2}{5}\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^{5/2}=+\infty. Portanto \int_{0}^{c} (imprópria) diverge (vai para -\infty quando avaliado como F\text{(c)}-F(\varepsilon) com \varepsilon\to 0^{+}, porque F(\varepsilon)\to +\infty). \n
  • Comportamento quando t\to +\infty: temos t+\frac{1}{t}\sim t, então integrando comporta-se como \int t^{3/2}dt e a primitiva cresce como t^{5/2}. Assim \lim_{t\to\infty}F(t)=+\infty. Portanto \int_{c}^{\infty} (imprópria) também diverge para +\infty. \n
  • Conclusão: as integrais impróprias que tocam 0 ou +\infty divergem; somente integrais definidas em intervalos fechados contidos em (0,\infty) são finitas.

Resposta

Primitiva: \displaystyle F(t)=\frac{2}{5}\left(t+\frac{1}{t}\right)^{5/2}+C, válida para t>0.\n
Integral definida em [a,b] com 0<a<b: \displaystyle \int_{a}^{b}\left(t+\frac{1}{t}\right)^{3/2}\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right)\,dt=\frac{2}{5}\left[\left(b+\frac{1}{b}\right)^{5/2}-\left(a+\frac{1}{a}\right)^{5/2}\right].\n
As integrais impróprias \displaystyle \int_{0}^{c} e \displaystyle \int_{c}^{\infty} (e \displaystyle \int_{0}^{\infty}) não convergem; portanto não são finitas como integrais próprias.

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