Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
\int \frac{5-x}{2 x^{2}+x-1}, d x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
\frac{5-x}{2x^{2}+x-1},
e em seguida determinar os intervalos onde a função é integrável (intervalos de integração — isto é, intervalos onde a função é contínua) e as integrais definidas nesses intervalos.
Informações dadas que vamos usar:
\text{o integrando é } \frac{5-x}{2x^{2}+x-1}.é
Observe que o denominador é um polinômio quadrático que pode anular-se em pontos reais; esses pontos tornam a função não definida e serão importantes para os intervalos de integração. Não resolvemos nada aqui ainda — só identifiquei o que o problema pede e as informações fornecidas.

Passo 2

Fatorar o denominador para expor as raízes (isso facilita decomposição em frações parciais). Calculamos as raízes de
2x^{2}+x-1=0.
Usando a fórmula quadrática, o discriminante é \Delta=1+8=9 e \sqrt{\Delta}=3. As raízes são
x=\frac{-1\pm3}{4},
ou seja
x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\quad\text{e}\quad x=\frac{-4}{4}=-1.
Portanto o polinômio fatorado é
2x^{2}+x-1 = 2\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)(x+1).
Essas duas raízes indicam onde o integrando não está definido: x=-1 e x=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Vamos fazer decomposição em frações parciais. Escrevemos
\frac{5-x}{2\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)(x+1)} = \frac{C}{x-\tfrac{1}{2}}+\frac{D}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por 2\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)(x+1)\) obtemos a identidade polinomial \[5-x = 2C(x+1) + 2D\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr).
Agora igualamos coeficientes em x e constantes. Expandindo o lado direito:
2C(x+1) + 2D\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr) = (2C+2D)x + (2C - D).
Comparando com 5-x = (-1)x + 5, temos o sistema
\begin{cases} 2C+2D = -1,\\[4pt] 2C - D = 5. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação C+D=-\tfrac{1}{2}\], logo \(D = -\tfrac{1}{2}-C. Substituindo na segunda:
2C -\bigl(-\tfrac{1}{2}-C\bigr)=5 \Rightarrow 2C + \tfrac{1}{2}+C =5 \Rightarrow 3C = \tfrac{9}{2} \Rightarrow C=\tfrac{3}{2}.
Então D = -\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2} = -2. Portanto a decomposição é
\frac{5-x}{2x^{2}+x-1} = \frac{3/2}{x-\tfrac{1}{2}} - \frac{2}{x+1}.]

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Lembre que a integral básica
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln\lvert x-a\rvert + C,
porque a derivada de \ln\lvert x-a\rvert é \dfrac{1}{x-a}. Usando essa regra e a linearidade da integral:
\int \frac{5-x}{2x^{2}+x-1}\,dx = \int \frac{3/2}{x-\tfrac{1}{2}}\,dx - \int \frac{2}{x+1}\,dx.
Cada integral é direta:
\int \frac{3/2}{x-\tfrac{1}{2}}\,dx = \frac{3}{2}\ln\bigl\lvert x-\tfrac{1}{2}\bigr\rvert + C_1,
\int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln\bigl\lvert x+1\bigr\rvert + C_2.
Subtraindo (e juntando constantes C_1-C_2 em uma única constante C) obtemos a primitiva geral.

Passo 5

A primitiva geral (colocando a constante de integração) é
F(x)=\frac{3}{2}\ln\bigl\lvert x-\tfrac{1}{2}\bigr\rvert - 2\ln\bigl\lvert x+1\bigr\rvert + C,
onde C é constante arbitrária. Essa expressão é válida em cada intervalo de continuidade da função integranda (veja passo seguinte sobre domínios).

Passo 6

Domínio e intervalos de integração: o integrando não está definido em x=-1 e x=\tfrac{1}{2}. Portanto a função é contínua (e integrável de forma usual) em cada um dos três intervalos maximais:
\bigl(-\infty,-1\bigr),\qquad \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr),\qquad \bigl(\tfrac{1}{2},\infty\bigr).
Em qualquer desses intervalos a primitiva F(x) dada no passo anterior é válida (com uma única constante C por intervalo). Para a,b pertencentes ao mesmo desses intervalos, a integral definida é dada por F(b)-F(a). Explicitamente, para a,b no mesmo intervalo:
\int_{a}^{b}\frac{5-x}{2x^{2}+x-1}\,dx = \left[\frac{3}{2}\ln\bigl\lvert x-\tfrac{1}{2}\bigr\rvert - 2\ln\bigl\lvert x+1\bigr\rvert\right]_{x=a}^{x=b} = \frac{3}{2}\ln\!\left\lvert\frac{b-\tfrac{1}{2}}{a-\tfrac{1}{2}}\right\rvert - 2\ln\!\left\lvert\frac{b+1}{a+1}\right\rvert.
Se o intervalo de integração cruza x=-1 ou x=\tfrac{1}{2}, então a integral é imprópria e deve ser tratada por limites (pode convergir ou divergir dependendo dos limites); aí usamos limites laterais em cada singularidade — atenção especial nesse caso.

Resposta

F(x)=\dfrac{3}{2}\ln\bigl\lvert x-\tfrac{1}{2}\bigr\rvert - 2\ln\bigl\lvert x+1\bigr\rvert + C
Os intervalos de continuidade (intervalos de integração admissíveis) são \bigl(-\infty,-1\bigr), \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr) e \bigl(\tfrac{1}{2},\infty\bigr).
Para a,b no mesmo desses intervalos,
\int_{a}^{b}\frac{5-x}{2x^{2}+x-1}\,dx = \frac{3}{2}\ln\!\left\lvert\frac{b-\tfrac{1}{2}}{a-\tfrac{1}{2}}\right\rvert - 2\ln\!\left\lvert\frac{b+1}{a+1}\right\rvert.

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