Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!) \int \frac{5-x}{2 x^{2}+x-1}, d x
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
\frac{5-x}{2x^{2}+x-1},
e em seguida determinar os intervalos onde a função é integrável (intervalos de integração — isto é, intervalos onde a função é contínua) e as integrais definidas nesses intervalos.
Informações dadas que vamos usar:
\text{o integrando é } \frac{5-x}{2x^{2}+x-1}.
Observe que o denominador é um polinômio quadrático que pode anular-se em pontos reais; esses pontos tornam a função não definida e serão importantes para os intervalos de integração. Não resolvemos nada aqui ainda — só identifiquei o que o problema pede e as informações fornecidas.
Passo 2
Fatorar o denominador para expor as raízes (isso facilita decomposição em frações parciais). Calculamos as raízes de
2x^{2}+x-1=0.
Usando a fórmula quadrática, o discriminante é \Delta=1+8=9 e \sqrt{\Delta}=3. As raízes são
onde C é constante arbitrária. Essa expressão é válida em cada intervalo de continuidade da função integranda (veja passo seguinte sobre domínios).
Passo 6
Domínio e intervalos de integração: o integrando não está definido em x=-1 e x=\tfrac{1}{2}. Portanto a função é contínua (e integrável de forma usual) em cada um dos três intervalos maximais:
Em qualquer desses intervalos a primitiva F(x) dada no passo anterior é válida (com uma única constante C por intervalo). Para a,b pertencentes ao mesmo desses intervalos, a integral definida é dada por F(b)-F(a). Explicitamente, para a,b no mesmo intervalo:
Se o intervalo de integração cruza x=-1 ou x=\tfrac{1}{2}, então a integral é imprópria e deve ser tratada por limites (pode convergir ou divergir dependendo dos limites); aí usamos limites laterais em cada singularidade — atenção especial nesse caso.
Resposta
F(x)=\dfrac{3}{2}\ln\bigl\lvert x-\tfrac{1}{2}\bigr\rvert - 2\ln\bigl\lvert x+1\bigr\rvert + C
Os intervalos de continuidade (intervalos de integração admissíveis) são \bigl(-\infty,-1\bigr), \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr) e \bigl(\tfrac{1}{2},\infty\bigr).
Para a,b no mesmo desses intervalos,