Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre as primitivas da função
ou seja, determinar uma antiderivada (com constante de integração) e, em seguida, indicar os intervalos onde a integral é definida e calcular as integrais definidas nesses intervalos. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a integral indefinida
deve ser resolvida; é mandatório observar as constantes de integração e os domínios das funções ao definir intervalos de integração.
Passo 2
Primeiro identifico o domínio da função integranda (onde a função está bem definida e contínua). A integranda contém
e
. Para a raiz ser real precisamos de
Resolvo essa desigualdade em duas partes (casos
e
):
Caso
: multiplicando por
temos
o que é sempre verdade para
. Logo todo
é permitido.
Caso
: multiplicando por
a desigualdade se inverte:
Assim, para
só são permitidos
.
Também devemos excluir
por causa de
. Portanto os intervalos onde a integranda é real e contínua (intervalos máximos) são
Passo 3
Vou calcular a primitiva usando uma substituição apropriada. A função dentro da raiz sugere a substituição
Agora calculo
. Diferenciando em relação a
:
Reescrevo
em termos de
: a partir de
segue
Essa é a chave: o fator
aparece exatamente na integral original.
Passo 4
Faço a mudança de variável na integral. Substituindo
e
:
Agora calculo a primitiva de
. A regra básica de integração das potências diz que
Aqui
, então
Voltando à integral com o fator
:
Passo 5
Substituo de volta
. A primitiva geral (antiderivada) é
onde
é a constante de integração. Posso verificar diferenciar
:
que é exatamente a integranda, confirmando que a primitiva está correta.
Passo 6
Importante observar onde essa primitiva é válida: a expressão
usa a função
que exige
. Logo a primitiva é válida (continua) nos mesmos intervalos máximos onde a integranda é definida e contínua:
Não podemos usar essa única expressão de primitiva para calcular integrais que cruzem
ou o intervalo proibido
.
Passo 7
Para calcular integrais definidas, uso o Teorema Fundamental do Cálculo: se
e
estão no mesmo intervalo de continuidade (ou seja, ambos em
ou ambos em
), então
onde
é uma primitiva qualquer (a constante cancela). Explicitamente:
válido para
ambos em
ou ambos em
.
Resposta
Intervalos de integração:
Para