Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
\int \sqrt{2+\frac{1}{3 x}} \frac{d x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre as primitivas da função
\sqrt{2+\frac{1}{3x}}\frac{1}{x^{2}}
ou seja, determinar uma antiderivada (com constante de integração) e, em seguida, indicar os intervalos onde a integral é definida e calcular as integrais definidas nesses intervalos. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a integral indefinida
\int \sqrt{2+\frac{1}{3x}}\,\frac{dx}{x^{2}}
deve ser resolvida; é mandatório observar as constantes de integração e os domínios das funções ao definir intervalos de integração.

Passo 2

Primeiro identifico o domínio da função integranda (onde a função está bem definida e contínua). A integranda contém \sqrt{2+\frac{1}{3x}} e \frac{1}{x^{2}}. Para a raiz ser real precisamos de
2+\frac{1}{3x}\ge 0.
Resolvo essa desigualdade em duas partes (casos x>0 e x<0):
Caso x>0: multiplicando por 3x>0 temos
1 \ge -6x \quad\Rightarrow\quad x\ge -\tfrac{1}{6},
o que é sempre verdade para x>0. Logo todo x>0 é permitido.
Caso x<0: multiplicando por 3x<0 a desigualdade se inverte:
1 \le -6x \quad\Rightarrow\quad x \le -\tfrac{1}{6}.
Assim, para x<0 só são permitidos x\le -\tfrac{1}{6}.
Também devemos excluir x=0 por causa de \frac{1}{x^{2}}. Portanto os intervalos onde a integranda é real e contínua (intervalos máximos) são
\left(-\infty,-\tfrac{1}{6}\right]\quad\text{e}\quad (0,\infty).

Passo 3

Vou calcular a primitiva usando uma substituição apropriada. A função dentro da raiz sugere a substituição
u=2+\frac{1}{3x}.
Agora calculo du. Diferenciando em relação a x:
du = -\frac{1}{3x^{2}}\,dx.
Reescrevo dx/x^{2} em termos de du: a partir de du = -\dfrac{1}{3x^{2}}\,dx segue
\frac{dx}{x^{2}} = -3\,du.
Essa é a chave: o fator \dfrac{dx}{x^{2}} aparece exatamente na integral original.

Passo 4

Faço a mudança de variável na integral. Substituindo u e \dfrac{dx}{x^{2}}=-3\,du:
\int \sqrt{2+\frac{1}{3x}}\,\frac{dx}{x^{2}} = \int \sqrt{u}\,(-3\,du) = -3\int u^{1/2}\,du.
Agora calculo a primitiva de u^{1/2}. A regra básica de integração das potências diz que
\int u^{p}\,du = \frac{u^{p+1}}{p+1}+C\quad\text{para }p\neq -1.
Aqui p=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Voltando à integral com o fator -3:
-3\int u^{1/2}\,du = -3\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = -2u^{3/2}+C.

Passo 5

Substituo de volta u=2+\dfrac{1}{3x}. A primitiva geral (antiderivada) é
F(x) = -2\left(2+\frac{1}{3x}\right)^{3/2} + C,
onde C é a constante de integração. Posso verificar diferenciar F:
F'(x) = -2\cdot\frac{3}{2}\left(2+\frac{1}{3x}\right)^{1/2}\cdot\left(-\frac{1}{3x^{2}}\right) = \left(2+\frac{1}{3x}\right)^{1/2}\frac{1}{x^{2}},
que é exatamente a integranda, confirmando que a primitiva está correta.

Passo 6

Importante observar onde essa primitiva é válida: a expressão F(x) usa a função \left(2+\dfrac{1}{3x}\right)^{3/2} que exige 2+\dfrac{1}{3x}\ge0. Logo a primitiva é válida (continua) nos mesmos intervalos máximos onde a integranda é definida e contínua:
\left(-\infty,-\tfrac{1}{6}\right]\quad\text{e}\quad (0,\infty).
Não podemos usar essa única expressão de primitiva para calcular integrais que cruzem x=0 ou o intervalo proibido \left(-\tfrac{1}{6},0\right).

Passo 7

Para calcular integrais definidas, uso o Teorema Fundamental do Cálculo: se a e b estão no mesmo intervalo de continuidade (ou seja, ambos em (0,\infty) ou ambos em (-\infty,-\tfrac{1}{6}]), então
\int_{a}^{b} \sqrt{2+\frac{1}{3x}}\,\frac{dx}{x^{2}} = F(b)-F(a)
onde F(x)=-2\left(2+\dfrac{1}{3x}\right)^{3/2} é uma primitiva qualquer (a constante cancela). Explicitamente:
\int_{a}^{b} \sqrt{2+\frac{1}{3x}}\,\frac{dx}{x^{2}} = -2\left(2+\frac{1}{3b}\right)^{3/2} + 2\left(2+\frac{1}{3a}\right)^{3/2},
válido para a,b ambos em (0,\infty) ou ambos em (-\infty,-\tfrac{1}{6}].

Resposta

F(x)=-2\left(2+\dfrac{1}{3x}\right)^{3/2}+C\n
Intervalos de integração: \left(-\infty,-\tfrac{1}{6}\right] e (0,\infty)\n
Para a,b no mesmo intervalo,
\int_{a}^{b}\sqrt{2+\frac{1}{3x}}\,\frac{dx}{x^{2}} = -2\left(2+\frac{1}{3b}\right)^{3/2} + 2\left(2+\frac{1}{3a}\right)^{3/2}.

Exercícios relacionados