Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!) \int \frac{\sqrt[3]{1+\log (x)}}{x} d x
Passo 1
O enunciado pede para:
Encontrar as primitivas (antiderivadas) da função \displaystyle \frac{\sqrt[3]{1+\log(x)}}{x}.
Determinar intervalos de integração (ou seja, os domínios onde faz sentido integrar) e calcular as integrais definidas nesses intervalos.
Informações dadas:
A função a integrar é \displaystyle \frac{\sqrt[3]{1+\log(x)}}{x}.
Aparece \log(x) (assumimos logaritmo natural).
Devemos lembrar de constantes de integração e cuidar do domínio da função.
Passo 2
Análise do domínio (isso é importante antes de integrar):
A função \log(x) está definida apenas para x>0. Logo a expressão só faz sentido para x>0.
A função \sqrt[3]{\cdot} (raiz cúbica) está definida para qualquer número real (valores negativos também), então não cria restrição adicional.
Portanto o domínio natural da integranda é (0,\infty).
Observação útil: em x=e^{-1} temos 1+\log(x)=0. Isso não é um problema: a integranda vale 0 aí. Mas é um ponto onde o sinal de 1+\log(x) muda (negativo para 0<x<e^{-1} e positivo para x>e^{-1}). Apesar disso, a função é contínua em todo (0,\infty).
Passo 3
Escolha do método (substituição): explicar a ideia
Quando vemos algo na forma \frac{f(\log x)}{x} uma substituição natural é \;u= expressão envolvendo \log x, porque d(\log x)=\frac{dx}{x}.
Aqui escolhemos a substituição
u = 1+\log(x).
Agora vamos calcular o diferencial du. Diferenciando u em relação a x (regra da cadeia):
du = \frac{d}{dx}\bigl(1+\log(x)\bigr)\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
Isso significa que \displaystyle \frac{dx}{x}=du. Essa igualdade é exatamente o que precisamos para trocar a variável na integral.
Passo 4
Troca de variável na integral (passo algebraico)
Substituindo u=1+\log(x) e \frac{dx}{x}=du na integral original obtemos:
Aqui usamos a interpretação real de \bigl(1+\log(x)\bigr)^{4/3} como \bigl((1+\log(x))^{1/3}\bigr)^4, que é bem definida para todo 1+\log(x)\in\mathbb{R}.
Passo 7
Verificação por diferenciação (checagem rápida usando regra da cadeia)
Diferenciando F(x) para ver se recuperamos a integranda:
Isso é exatamente \displaystyle \frac{\sqrt[3]{1+\log(x)}}{x}, então a primitiva está correta.
Passo 8
Intervalos de integração e integrais definidas nesses intervalos
Domínio natural para integração: (0,\infty). Qualquer intervalo fechado ou aberto contido em (0,\infty) é admissível para integrais definidas.
Uma divisão natural (não obrigatória) é em relação ao ponto x=e^{-1} onde 1+\log(x)=0:
Para 0<x<e^{-1} temos 1+\log(x)<0.
Para x=e^{-1} temos 1+\log(x)=0.
Para x>e^{-1} temos 1+\log(x)>0.
Mesmo mudando de sinal, a integranda é contínua em todo (0,\infty), então a primitiva encontrada vale em toda a região x>0.
Atenção às escolhas de a e b: devem satisfazer 0<a<b (ou mais geralmente serem ambos positivos). Isso garante que \log e as expressões usadas estão bem definidas.