Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
\int \frac{\sqrt[3]{1+\log (x)}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para:
  • Encontrar as primitivas (antiderivadas) da função \displaystyle \frac{\sqrt[3]{1+\log(x)}}{x}.
  • Determinar intervalos de integração (ou seja, os domínios onde faz sentido integrar) e calcular as integrais definidas nesses intervalos.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \displaystyle \frac{\sqrt[3]{1+\log(x)}}{x}.
  • Aparece \log(x) (assumimos logaritmo natural).
  • Devemos lembrar de constantes de integração e cuidar do domínio da função.

Passo 2

Análise do domínio (isso é importante antes de integrar):
  • A função \log(x) está definida apenas para x>0. Logo a expressão só faz sentido para x>0.
  • A função \sqrt[3]{\cdot} (raiz cúbica) está definida para qualquer número real (valores negativos também), então não cria restrição adicional.
  • Portanto o domínio natural da integranda é (0,\infty).
  • Observação útil: em x=e^{-1} temos 1+\log(x)=0. Isso não é um problema: a integranda vale 0 aí. Mas é um ponto onde o sinal de 1+\log(x) muda (negativo para 0<x<e^{-1} e positivo para x>e^{-1}). Apesar disso, a função é contínua em todo (0,\infty).

Passo 3

Escolha do método (substituição): explicar a ideia
  • Quando vemos algo na forma \frac{f(\log x)}{x} uma substituição natural é \;u= expressão envolvendo \log x, porque d(\log x)=\frac{dx}{x}.
  • Aqui escolhemos a substituição
u = 1+\log(x).
  • Agora vamos calcular o diferencial du. Diferenciando u em relação a x (regra da cadeia):
du = \frac{d}{dx}\bigl(1+\log(x)\bigr)\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
  • Isso significa que \displaystyle \frac{dx}{x}=du. Essa igualdade é exatamente o que precisamos para trocar a variável na integral.

Passo 4

Troca de variável na integral (passo algebraico)
  • Substituindo u=1+\log(x) e \frac{dx}{x}=du na integral original obtemos:
\int \frac{\sqrt[3]{1+\log(x)}}{x}\,dx = \int \sqrt[3]{u}\,du.
  • Escrever \sqrt[3]{u} em potência ajuda: \sqrt[3]{u}=u^{1/3}. Assim a integral fica
\int u^{1/3}\,du.

Passo 5

Integração da potência (regra da primitivação para potências)
  • A regra para integrar uma potência é: para \alpha\neq -1,
\int u^{\alpha}\,du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C.
  • Aqui \alpha=\tfrac{1}{3}. Então
\int u^{1/3}\,du = \frac{u^{1/3+1}}{1/3+1} + C = \frac{u^{4/3}}{4/3} + C.
  • Simplificando a fração \frac{1}{4/3}=\frac{3}{4}, obtemos
\int u^{1/3}\,du = \frac{3}{4}\,u^{4/3} + C.

Passo 6

Voltar para a variável original e escrever a primitiva geral
  • Lembrando que u=1+\log(x), a primitiva em x fica
F(x) = \frac{3}{4}\bigl(1+\log(x)\bigr)^{4/3} + C,
onde C é a constante de integração.
  • Aqui usamos a interpretação real de \bigl(1+\log(x)\bigr)^{4/3} como \bigl((1+\log(x))^{1/3}\bigr)^4, que é bem definida para todo 1+\log(x)\in\mathbb{R}.

Passo 7

Verificação por diferenciação (checagem rápida usando regra da cadeia)
  • Diferenciando F(x) para ver se recuperamos a integranda:
F'(x)=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}\bigl(1+\log(x)\bigr)^{1/3}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(1+\log(x)\bigr) =\bigl(1+\log(x)\bigr)^{1/3}\cdot \frac{1}{x}.
  • Isso é exatamente \displaystyle \frac{\sqrt[3]{1+\log(x)}}{x}, então a primitiva está correta.

Passo 8

Intervalos de integração e integrais definidas nesses intervalos
  • Domínio natural para integração: (0,\infty). Qualquer intervalo fechado ou aberto contido em (0,\infty) é admissível para integrais definidas.
  • Uma divisão natural (não obrigatória) é em relação ao ponto x=e^{-1} onde 1+\log(x)=0:
    • Para 0<x<e^{-1} temos 1+\log(x)<0.
    • Para x=e^{-1} temos 1+\log(x)=0.
    • Para x>e^{-1} temos 1+\log(x)>0.
      Mesmo mudando de sinal, a integranda é contínua em todo (0,\infty), então a primitiva encontrada vale em toda a região x>0.
  • Fórmula geral para integrais definidas com 0<a<b:
\int_{a}^{b} \frac{\sqrt[3]{1+\log(x)}}{x}\,dx = \left.\frac{3}{4}\bigl(1+\log(x)\bigr)^{4/3}\right|_{x=a}^{x=b} = \frac{3}{4}\bigl(1+\log(b)\bigr)^{4/3} - \frac{3}{4}\bigl(1+\log(a)\bigr)^{4/3}.
  • Atenção às escolhas de a e b: devem satisfazer 0<a<b (ou mais geralmente serem ambos positivos). Isso garante que \log e as expressões usadas estão bem definidas.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{3}{4}\bigl(1+\log(x)\bigr)^{4/3}+C.
Domínio de integração: (0,\infty) (com divisão natural em 0<x<e^{-1}, x=e^{-1}, x>e^{-1} se quiser analisar sinais).
Para 0<a<b:
\displaystyle \int_{a}^{b}\frac{\sqrt[3]{1+\log(x)}}{x}\,dx=\frac{3}{4}\bigl(1+\log(b)\bigr)^{4/3}-\frac{3}{4}\bigl(1+\log(a)\bigr)^{4/3}.

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