Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
\int(x+1)(3 x-2) d x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas de (x+1)(3x-2) (ou seja, antiderivadas, incluindo a constante de integração) e, em seguida, determinar intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos.
Informações dadas: a função a integrar é (x+1)(3x-2). Não há figura nem outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o integrando para trabalhar com termos separados. Multiplicando os fatores:
(x+1)(3x-2)=3x^2+x-2.
Esse é um polinômio. Note que um polinômio está definido e é contínuo para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Relembrando regras básicas de integração que usaremos:
  • Linearidade: \displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
  • Constante factor: \displaystyle \int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx, onde c é constante.
  • Regra da potência (para n\neq -1): \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aqui C é a constante de integração — sempre lembre dela ao obter primitivas.
Aplicaremos essas regras termo a termo no polinômio 3x^2+x-2.

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
\int 3x^2\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3},
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},
\int (-2)\,dx = -2x.
Somando e adicionando a constante de integração C, uma primitiva geral é
F(x)=x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-2x+C.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando F obtemos
F'(x)=3x^{2}+x-2,
que é exatamente o integrando simplificado, então F está correta.

Passo 6

Intervalos de integração: como o integrando é um polinômio, ele é contínuo em todo \mathbb{R}. Portanto qualquer intervalo fechado [a,b] com a,b\in\mathbb{R} é um intervalo válido de integração. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida em [a,b] é
\int_{a}^{b}(x+1)(3x-2)\,dx = F(b)-F(a),
ou seja
\int_{a}^{b}(x+1)(3x-2)\,dx = \left[x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-2x\right]_{a}^{b} = b^{3}-a^{3}+\frac{b^{2}-a^{2}}{2}-2(b-a).

Passo 7

Exemplos numéricos (mostro o cálculo passo a passo para você praticar):
  • Para [0,1]:
F(1)=1^{3}+\frac{1^{2}}{2}-2\cdot1=1+\tfrac{1}{2}-2=-\tfrac{1}{2}, \quad F(0)=0.
Logo
\int_{0}^{1}(x+1)(3x-2)\,dx = F(1)-F(0)=-\tfrac{1}{2}.
  • Para [-1,2]:
F(2)=2^{3}+\frac{2^{2}}{2}-2\cdot2=8+2-4=6,
F(-1)=(-1)^{3}+\frac{(-1)^{2}}{2}-2(-1)=-1+\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{3}{2}.
Logo
\int_{-1}^{2}(x+1)(3x-2)\,dx = F(2)-F(-1)=6-\tfrac{3}{2}=\tfrac{9}{2}.

Passo 8

Resumo rápido: a primitiva geral, o domínio (intervalos válidos) e a fórmula geral da integral definida já estão prontos — agora é só substituir a e b nos casos que você precisar durante a prova. Vai dar certo, confia no processo!

Resposta

F(x)=x^{3}+\dfrac{x^{2}}{2}-2x+C
\displaystyle \int_{a}^{b}(x+1)(3x-2)\,dx=\left[x^{3}+\dfrac{x^{2}}{2}-2x\right]_{a}^{b}=b^{3}-a^{3}+\dfrac{b^{2}-a^{2}}{2}-2(b-a)
\displaystyle \int_{0}^{1}(x+1)(3x-2)\,dx=-\dfrac{1}{2}
\displaystyle \int_{-1}^{2}(x+1)(3x-2)\,dx=\dfrac{9}{2}

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