Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas de
(ou seja, antiderivadas, incluindo a constante de integração) e, em seguida, determinar intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos.
Informações dadas: a função a integrar é . Não há figura nem outras restrições no enunciado.
Informações dadas: a função a integrar é
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o integrando para trabalhar com termos separados. Multiplicando os fatores:
Esse é um polinômio. Note que um polinômio está definido e é contínuo para todo
.
Passo 3
Relembrando regras básicas de integração que usaremos:
- Linearidade:
. - Constante factor:
, onde é constante. - Regra da potência (para
): . Aqui é a constante de integração — sempre lembre dela ao obter primitivas.
Aplicaremos essas regras termo a termo no polinômio
.
Passo 4
Integramos cada termo separadamente:
Somando e adicionando a constante de integração
, uma primitiva geral é
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando
obtemos
que é exatamente o integrando simplificado, então
está correta.
Passo 6
Intervalos de integração: como o integrando é um polinômio, ele é contínuo em todo
. Portanto qualquer intervalo fechado
com
é um intervalo válido de integração. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida em
é
ou seja
Passo 7
Exemplos numéricos (mostro o cálculo passo a passo para você praticar):
- Para
:
Logo
- Para
:
Logo
Passo 8
Resumo rápido: a primitiva geral, o domínio (intervalos válidos) e a fórmula geral da integral definida já estão prontos — agora é só substituir
e
nos casos que você precisar durante a prova. Vai dar certo, confia no processo!