Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
\int \log (x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função \log(x), e em seguida determinar intervalos de integração adequados (respeitando o domínio da função) e calcular as integrais definidas nesses intervalos. Informações dadas e observações importantes: \log(x) aqui será entendida como o logaritmo natural; portanto a função está definida só para x>0. Não vamos resolver nada ainda, apenas organizamos o que é pedido: (i) achar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\log(x) para x>0; (ii) usar essa primitiva para escrever a integral definida em qualquer intervalo [a,b] com 0<a<b; (iii) examinar casos interessantes como \int_{0}^{1}\log(x)\,dx, \int_{1}^{e}\log(x)\,dx e \int_{1}^{\infty}\log(x)\,dx, lembrando que integrais que tocam o ponto 0 são impróprias e precisam de limite.

Passo 2

Apresentando a ferramenta que vamos usar: integração por partes. Fórmula e significado — é útil quando a integranda é produto de duas coisas e uma delas fica mais simples ao derivar. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u e v são funções de x; du é a diferencial de u (ou du = u'(x)\,dx) e dv é a diferencial escolhida para a outra parte (com v tal que dv=v'(x)\,dx). Explico: escolhemos u para ser algo que simplifique ao derivar; escolhemos dv que seja fácil de integrar para obter v. Não pule etapas: sempre escreva du e v explicitamente.

Passo 3

Aplicando integração por partes a \int \log(x)\,dx. Como a integranda é só \log(x) multiplicada por 1, uma escolha natural é:
u = \log(x),\qquad dv = dx.
Agora calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}\big(\log(x)\big)\,dx = \frac{1}{x}\,dx,\qquad v = \int dv = \int dx = x.
Tudo em ordem: u, du, v e dv estão definidos (lembrando que essa derivação só vale para x>0).

Passo 4

Substituímos na fórmula de integração por partes:
\int \log(x)\,dx = uv - \int v\,du = x\log(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificamos a integral que resta:
\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int 1\,dx = x.
Logo a primitiva fica
\int \log(x)\,dx = x\log(x) - x + C,
onde C é a constante de integração. Observação sobre domínio: essa expressão é válida para x>0, que é o domínio de \log(x). Sempre inclua +C quando apresentar primitivas.

Passo 5

Agora usamos a primitiva para escrever a integral definida em um intervalo geral [a,b] com 0<a<b. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se F(x)=x\log(x)-x é uma primitiva, então
\int_{a}^{b} \log(x)\,dx = \big[\,x\log(x)-x\,\big]_{x=a}^{x=b} = \big(b\log(b)-b\big)-\big(a\log(a)-a\big).
Podemos reorganizar:
\int_{a}^{b} \log(x)\,dx = b\log(b)-a\log(a)-(b-a).
Essa é a forma prática que você pode usar na prova para qualquer 0<a<b.

Passo 6

Tratando a integral imprópria \int_{0}^{1}\log(x)\,dx. Aqui o intervalo toca 0, onde \log(x) não está definida, então precisamos definir a integral como limite:
\int_{0}^{1}\log(x)\,dx := \lim_{t\to 0^{+}}\int_{t}^{1}\log(x)\,dx.
Usando a primitiva:
\int_{t}^{1}\log(x)\,dx = \big[\,x\log(x)-x\,\big]_{t}^{1} = (1\cdot\log(1)-1)-\big(t\log(t)-t\big).
Como \log(1)=0, a parte superior é -1. Precisamos agora do limite quando t\to 0^{+} de t\log(t)-t. Primeiro note que t\to0^{+} implica \log(t)\to -\infty, mas t\log(t) tende a 0 (produto de uma coisa que vai a zero por outra que vai a -\infty dá zero aqui). Uma maneira simples de ver \lim_{t\to0^{+}} t\log(t)=0 é fazer t=e^{-u} com u\to+\infty, então t\log(t)=e^{-u}(-u)=-u e^{-u}\to0 porque a exponencial domina o crescimento linear. Assim
\lim_{t\to0^{+}}\big(t\log(t)-t\big)=0-0=0.
Portanto
\int_{0}^{1}\log(x)\,dx = -1.

Passo 7

Outros exemplos interessantes e observações sobre divergência:
  • Para \int_{1}^{e}\log(x)\,dx usamos a primitiva:
\int_{1}^{e}\log(x)\,dx = \big[\,x\log(x)-x\,\big]_{1}^{e} = \big(e\cdot 1 - e\big)-\big(1\cdot 0 -1\big) = 0 - (-1) = 1.
  • Para \int_{1}^{\infty}\log(x)\,dx tratamos como limite impróprio:
\int_{1}^{\infty}\log(x)\,dx := \lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R}\log(x)\,dx = \lim_{R\to\infty}\big(R\log(R)-R - (1\cdot0-1)\big).
Como R\log(R)-R tende a +\infty quando R\to\infty, essa integral diverge (vai para +\infty). Logo não é convergente.

Resposta

\displaystyle \text{Primitiva: } \int \log(x)\,dx = x\log(x)-x + C,\; \text{valendo para } x>0.
\displaystyle \text{Para }0<a<b:\\ \int_{a}^{b}\log(x)\,dx = b\log(b)-a\log(a)-(b-a).
\displaystyle \int_{0}^{1}\log(x)\,dx = -1.
\displaystyle \int_{1}^{e}\log(x)\,dx = 1.
\displaystyle \int_{1}^{\infty}\log(x)\,dx \text{ diverge }(+\infty).

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