Encontre as primitivas abaixo, em seguida determine intervalos de integração e as integrais definidas nesses intervalos, (obs: não esqueça das constantes de integração na obtenção das primitivas e cuidado com os domínios das funções ao definir os intervalos de integração!!!)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
, e em seguida determinar intervalos de integração adequados (respeitando o domínio da função) e calcular as integrais definidas nesses intervalos. Informações dadas e observações importantes:
aqui será entendida como o logaritmo natural; portanto a função está definida só para
. Não vamos resolver nada ainda, apenas organizamos o que é pedido: (i) achar uma primitiva
tal que
para
; (ii) usar essa primitiva para escrever a integral definida em qualquer intervalo
com
; (iii) examinar casos interessantes como
,
e
, lembrando que integrais que tocam o ponto
são impróprias e precisam de limite.
Passo 2
Apresentando a ferramenta que vamos usar: integração por partes. Fórmula e significado — é útil quando a integranda é produto de duas coisas e uma delas fica mais simples ao derivar. A fórmula é
Aqui
e
são funções de
;
é a diferencial de
(ou
) e
é a diferencial escolhida para a outra parte (com
tal que
). Explico: escolhemos
para ser algo que simplifique ao derivar; escolhemos
que seja fácil de integrar para obter
. Não pule etapas: sempre escreva
e
explicitamente.
Passo 3
Aplicando integração por partes a
. Como a integranda é só
multiplicada por
, uma escolha natural é:
Agora calculamos
e
:
Tudo em ordem:
,
,
e
estão definidos (lembrando que essa derivação só vale para
).
Passo 4
Substituímos na fórmula de integração por partes:
Simplificamos a integral que resta:
Logo a primitiva fica
onde
é a constante de integração. Observação sobre domínio: essa expressão é válida para
, que é o domínio de
. Sempre inclua
quando apresentar primitivas.
Passo 5
Agora usamos a primitiva para escrever a integral definida em um intervalo geral
com
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
é uma primitiva, então
Podemos reorganizar:
Essa é a forma prática que você pode usar na prova para qualquer
.
Passo 6
Tratando a integral imprópria
. Aqui o intervalo toca
, onde
não está definida, então precisamos definir a integral como limite:
Usando a primitiva:
Como
, a parte superior é
. Precisamos agora do limite quando
de
. Primeiro note que
implica
, mas
tende a
(produto de uma coisa que vai a zero por outra que vai a
dá zero aqui). Uma maneira simples de ver
é fazer
com
, então
porque a exponencial domina o crescimento linear. Assim
Portanto
Passo 7
Outros exemplos interessantes e observações sobre divergência:
- Para
usamos a primitiva:
- Para
tratamos como limite impróprio:
Como
tende a
quando
, essa integral diverge (vai para
). Logo não é convergente.