Encontre as primitivas da função abaixo:
integral x^2 raizx+3 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função x^2raizx+3. O conteúdo envolvido é integração por substituição e uso da regra de potência, e vamos precisar usar uma troca de variável para simplificar a raiz.

Passo 2

Fazendo a substituição u = x + 3, temos x = u - 3 e dx = du. Assim, a raiz fica raizx+3 = raizu = u^1/2 e o termo x^2 vira (u - 3)^2 = u^2 - 6u + 9.
Substituindo tudo na integral, obtemos
integral x^2 raizx+3,dx = integral (u^2 - 6u + 9) ,u^1/2,du = integral (u^5/2 - 6u^3/2 + 9u^1/2),du

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência em cada termo:
integral u^5/2,du = u^7/27/2 = 27u^7/2,integral (-6u^3/2),du = -6cdotu^5/25/2 = -125u^5/2,integral 9u^1/2,du = 9cdotu^3/23/2 = 6u^3/2

Passo 4

Somando os resultados e voltando à variável x (lembrando que u = x + 3), chegamos à primitiva geral.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{7}(x+3)^{7/2} - \frac{12}{5}(x+3)^{5/2} + 6(x+3)^{3/2} + C

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