Encontre as primitivas da função abaixo:
integral e^2 x cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=e^2xcos x. O conteúdo principal aqui é o uso de integração por partes repetidamente para integrais do tipo integral e^axcos(bx),dx.

Passo 2

Denotamos I=integral e^2xcos x,dx e aplicamos integração por partes. Escolhemos
u = cos x, dv = e^2xdx. Então du = -sin x,dx e v = tfrace^2x2.
I = integral e^2xcos x,dx = e^2xcos x2 - integral e^2x2(-sin x),dx = e^2xcos x2 + 12integral e^2xsin x,dx

Passo 3

Chamamos I1=integral e^2xsin x,dx e repetimos integração por partes: escolhemos u = sin x, dv = e^2xdx. Então du = cos x,dx e v = tfrace^2x2.
I1 = e^2xsin x2 - integral e^2x2cos x,dx = e^2xsin x2 - 12I

Passo 4

Voltando para I:
I = e^2xcos x2 + 12l(e^2xsin x2 - 12Ir) = e^2xcos x2 + e^2xsin x4 - 14I
Reorganizando termos, temos
I + 14I = e^2xcos x2 + e^2xsin x4 Longrightarrow 54I = e^2x4(2cos x + sin x)

Passo 5

Portanto,
I = e^2x5(2cos x + sin x) + C,
que é a família completa de primitivas de e^2xcos x.

Resposta

e^2x5(2cos x + sin x) + C

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