Encontre as primitivas das funções abaixo:
integral 5 sen(x) cos (x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 5 sin(x) cos(x) , dx. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente procurando encontrar a primitiva dessa função. Para isso, vamos precisar usar uma técnica de integração que facilita a resolução quando temos produtos de funções trigonométricas, como a que temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever a função multiplicando o 5 pela função trigonométrica:
5 sin(x) cos(x)
Então, a integral fica:
integral 5 sin(x) cos(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração de produtos de seno e cosseno. Sabemos que:
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
Podemos reescrever $ \sin(x) \cos(x) $ em termos de $ \sin(2x) $:
sin(x) cos(x)
Substituindo na integral:
sin(2x)

Passo 4

Agora, vamos integrar $ \sin(2x) $. A integral de $ \sin(kx) $ em relação a $ x $ é:
sin(2x)
Onde $ k $ é uma constante e $ C $ é a constante de integração. No nosso caso, $ k = 2 $, então:
sin(kx)

Passo 5

Voltando à nossa expressão anterior:
52 integral sin(2x) , dx = 52 ( -12 cos(2x) ) + C = -54 cos(2x) + C

Resposta

A primitiva da função $ 5 \sin(x) \cos(x) $ é:
5 sin(x) cos(x)

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