Encontre as primitivas das funções abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente procurando encontrar a primitiva dessa função. Para isso, vamos precisar usar uma técnica de integração que facilita a resolução quando temos produtos de funções trigonométricas, como a que temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever a função multiplicando o 5 pela função trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração de produtos de seno e cosseno. Sabemos que:
Podemos reescrever $ \sin(x) \cos(x) $ em termos de $ \sin(2x) $:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar $ \sin(2x) $. A integral de $ \sin(kx) $ em relação a $ x $ é:
Onde $ k $ é uma constante e $ C $ é a constante de integração. No nosso caso, $ k = 2 $, então:
Passo 5
Voltando à nossa expressão anterior:
Resposta
A primitiva da função $ 5 \sin(x) \cos(x) $ é: