Escolha apenas uma das questões abaixo
Calcule a área abaixo do gráfico da função
e acima do eixo
, onde
varia de
até
.
Dica: chame
.
Calcule a área abaixo do gráfico da função
Dica: chame
Passo 1
Vamos calcular a área sob o gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{x \ln(x)} $ e acima do eixo $ x $, no intervalo de $ x = e $ até $ x = e^{\pi} $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais definidas, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, identificamos que queremos calcular a integral definida de $ f(x) $ de $ e $ até $ e^{\pi} $:
Passo 3
Vamos simplificar essa integral usando uma substituição. A dica sugere que chamemos $ u = \ln(x) $. Assim, precisamos encontrar $ du $:
Passo 4
Com a substituição, vamos reescrever a integral em termos de $ u $. Note que $ \frac{1}{x \ln(x)} , dx = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{x} , dx $. Substituindo $ du $ na expressão:
Passo 5
Agora, precisamos mudar os limites de integração para $ u $. Quando $ x = e $:
E quando $ x = e^{\pi} $:
Então, a integral fica:
Passo 6
Integrando $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $:
Como estamos calculando uma integral definida, a constante $ C $ não é necessária.
Passo 7
Agora, avaliamos a integral nos limites de 1 a $ \pi $:
Passo 8
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
Resposta
A área é $ \ln(\pi) $.