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Calcule a área abaixo do gráfico da função f(x)=1x ln (x) e acima do eixo x, onde x varia de e até e^pi.
Dica: chame u=ln (x).

Passo 1

Vamos calcular a área sob o gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{x \ln(x)} $ e acima do eixo $ x $, no intervalo de $ x = e $ até $ x = e^{\pi} $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais definidas, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que queremos calcular a integral definida de $ f(x) $ de $ e $ até $ e^{\pi} $:
f(x) Á

Passo 3

Vamos simplificar essa integral usando uma substituição. A dica sugere que chamemos $ u = \ln(x) $. Assim, precisamos encontrar $ du $:
u = ln(x)

Passo 4

Com a substituição, vamos reescrever a integral em termos de $ u $. Note que $ \frac{1}{x \ln(x)} , dx = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{x} , dx $. Substituindo $ du $ na expressão:
u Á

Passo 5

Agora, precisamos mudar os limites de integração para $ u $. Quando $ x = e $:
u
E quando $ x = e^{\pi} $:
x = e
Então, a integral fica:
u = ln(e) = 1 Á

Passo 6

Integrando $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $:
1u
Como estamos calculando uma integral definida, a constante $ C $ não é necessária.

Passo 7

Agora, avaliamos a integral nos limites de 1 a $ \pi $:
pi Á

Passo 8

Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
ln(1) = 0 Á

Resposta

A área é $ \ln(\pi) $.

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