Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, determine a área da região
delimitada por
e
;
delimitada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar a área da região delimitada pelas curvas $ x = y^{2} $ e $ y = x - 2 $ usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, vamos precisar entender de cálculo integral, especialmente sobre como calcular a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar ou imaginar as curvas $ x = y^{2} $ e $ y = x - 2 $ para ver onde elas se intersectam. Isso é importante porque os pontos de interseção serão os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema de equações:
Substituindo $ x $ da primeira equação na segunda:
Passo 4
Agora, rearranjamos a equação para resolver para $ y $:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Com os valores de $ y $, encontramos $ x $ usando $ x = y^{2} $:
Para $ y = 2 $:
Para $ y = -1 $:
Então, os pontos de interseção são $ (4, 2) $ e $ (1, -1) $.
Passo 7
Agora, para calcular a área entre as curvas, vamos usar a integral definida. A área $ A $ será a integral da diferença entre as funções que delimitam a região, no intervalo de $ y = -1 $ a $ y = 2 $.
Primeiro, expressamos ambas as funções em termos de $ y $:
Passo 8
A função que está à direita no intervalo (maior valor de $ x $) é $ y + 2 $, e a que está à esquerda é $ y^{2} $. Então, a área $ A $ é:
Passo 9
Vamos agora calcular essa integral:
Integrando termo a termo:
Passo 10
Calculando no limite superior $ y = 2 $:
Calculando no limite inferior $ y = -1 $:
Passo 11
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada por $ x = y^{2} $ e $ y = x - 2 $ é $ \frac{9}{2} $ unidades de área.