Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, determine a área da região
delimitada por x=y^2 e y=x-2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar a área da região delimitada pelas curvas $ x = y^{2} $ e $ y = x - 2 $ usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, vamos precisar entender de cálculo integral, especialmente sobre como calcular a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar ou imaginar as curvas $ x = y^{2} $ e $ y = x - 2 $ para ver onde elas se intersectam. Isso é importante porque os pontos de interseção serão os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema de equações:
x = y^2 y = x - 2
Substituindo $ x $ da primeira equação na segunda:
x

Passo 4

Agora, rearranjamos a equação para resolver para $ y $:
y
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, temos duas soluções:
y = 1 + 32 = 2 e y = 1 - 32 = -1

Passo 6

Com os valores de $ y $, encontramos $ x $ usando $ x = y^{2} $:
Para $ y = 2 $:
y
Para $ y = -1 $:
x
Então, os pontos de interseção são $ (4, 2) $ e $ (1, -1) $.

Passo 7

Agora, para calcular a área entre as curvas, vamos usar a integral definida. A área $ A $ será a integral da diferença entre as funções que delimitam a região, no intervalo de $ y = -1 $ a $ y = 2 $.
Primeiro, expressamos ambas as funções em termos de $ y $:
A

Passo 8

A função que está à direita no intervalo (maior valor de $ x $) é $ y + 2 $, e a que está à esquerda é $ y^{2} $. Então, a área $ A $ é:
x

Passo 9

Vamos agora calcular essa integral:
A = integral-1^2 (-y^2 + y + 2) dy
Integrando termo a termo:
A = [ -y^33 + y^22 + 2y ]-1^2

Passo 10

Calculando no limite superior $ y = 2 $:
y = 2
Calculando no limite inferior $ y = -1 $:
-(2)^33 + (2)^22 + 2(2) = -83 + 2 + 4 = -83 + 6 = 103

Passo 11

Subtraindo os valores:
A = 103 - ( -76 ) = 103 + 76 = 206 + 76 = 276 = 92

Resposta

A área da região delimitada por $ x = y^{2} $ e $ y = x - 2 $ é $ \frac{9}{2} $ unidades de área.

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