Encontre as primitivas das funções abaixo:
integral x^7 e^x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva da função x^7 e^x^4. Aqui vamos usar a técnica de substituição (mudança de variável) inspirada na regra da cadeia, e depois resolver uma integral de u e^u por partes.

Passo 2

Vamos definir a substituição adequada. Seja:
u = x^4,
assim
du = 4x^3,dx
e portanto
x^3,dx = du4

Passo 3

Reescrevendo x^7,dx em termos de u:
x^7,dx = x^4,x^3,dx = udu4 = u4,du
Logo a integral vira
integral x^7 e^x^4,dx = integral u4e^u,du = 14integral u e^u,du

Passo 4

Agora precisamos calcular integral u e^u,du por integração por partes. Escolhendo:
A = u, dB = e^u,du
vem
dA = du, B = e^u
e pela fórmula
integral u e^u,du = u e^u - integral e^u,du = u e^u - e^u + C

Passo 5

Voltando para a variável x (ou seja, u = x^4) e juntando tudo, temos:
integral x^7 e^x^4,dx = 14l(u e^u - e^ur) + C = (x^4 - 1)e^x^44 + C

Resposta

(x^4 - 1)e^x^44 + C

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