Nos exercícios abaixo, desenhe o conjunto indicado e calcule sua área.
Conjunto limitado pelos gráficos y=x e y=x^2 sendo 0 <= x <= 3.

Passo 1

Vou desenhar e calcular a área da região limitada pelos gráficos de y=x e y=x^2 para 0<= x<=3. O conteúdo é o cálculo de área entre curvas usando integrais definidas. Precisamos achar intersecções e determinar quem é a função superior em cada trecho.

Passo 2

Para esboçar, note que a parábola y=x^2 tem vértice em (0,0) e passa por (1,1), (2,4), (3,9), enquanto a reta y=x vai de (0,0) a (3,3). A região fica entre essas duas curvas, fechada pelas retas verticais x=0 e x=3.

Passo 3

Encontre as intersecções resolvendo x=x^2, ou seja, x^2 - x=0 que dá x=0 e x=1. Entre 0 e 1 temos x>= x^2, e entre 1 e 3 temos x^2>= x.

Passo 4

A teoria de área entre curvas diz que, se f(x)>= g(x) em [a,b], então Área = integrala^b (f(x)-g(x)),dxÁ. Como a ordem muda em x=1, dividimos em dois intervalos e escrevemos
integral0^1 (x - x^2),dx + integral1^3 (x^2 - x),dx

Passo 5

Calculemos cada integral:
integral0^1 (x - x^2),dx = [x^22 - x^33]0^1 = 12 - 13 = 16,
integral1^3 (x^2 - x),dx = [x^33 - x^22]1^3 = (273 - 92) - (13 - 12) = (9 - 92) - (13 - 12) = 92 + 16 = 143

Passo 6

Somando os valores parciais temos
16 + 143 = 296

Resposta

296

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