Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4 y’’ + 4 y’ + y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=2. Vamos usar o método da equação característica para obter a solução geral e então ajustar as constantes à condição inicial.
4 y’’ + 4 y’ + y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=2. Vamos usar o método da equação característica para obter a solução geral e então ajustar as constantes à condição inicial.
Passo 2
Substituindo y(x)=e^{r x} na equação diferencial, obtemos a equação característica:
Passo 3
Calculamos o discriminante Δ = 4^2 – 4·4·1 = 16 – 16 = 0, ou seja, há uma raiz dupla. A solução de r é
Passo 4
Como a raiz r=−1/2 é dupla, a solução geral da ODE é dada por
Passo 5
Calculamos a derivada para ajustar as condições iniciais. Derivando por x:
Passo 6
Em x=0 temos y(0)=C_1=1. Em x=0 aplicando y’(0)=2:
Resposta
A solução da condição de contorno é
.