4 y^prime prime+4 y^prime+y=0, y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4 y’’ + 4 y’ + y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=2. Vamos usar o método da equação característica para obter a solução geral e então ajustar as constantes à condição inicial.

Passo 2

Substituindo y(x)=e^{r x} na equação diferencial, obtemos a equação característica:
4r^2 + 4r + 1 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante Δ = 4^2 – 4·4·1 = 16 – 16 = 0, ou seja, há uma raiz dupla. A solução de r é
r = -42·4 = -tfrac12

Passo 4

Como a raiz r=−1/2 é dupla, a solução geral da ODE é dada por
y(x) = (C1 + C2 x),e^-x/2

Passo 5

Calculamos a derivada para ajustar as condições iniciais. Derivando por x:
y'(x) = C2 e^-x/2 + (C1 + C2 x)l(-tfrac12r)e^-x/2 = e^-x/2l(C2 - tfrac12(C1 + C2 x)r)

Passo 6

Em x=0 temos y(0)=C_1=1. Em x=0 aplicando y’(0)=2:
y'(0) = C2 - tfrac12 C1 = 2 implies C2 - tfrac12·1 = 2 implies C2 = 2 + tfrac12 = tfrac52

Resposta

A solução da condição de contorno é y(x)=l(1+tfrac52 xr)e^-x/2.

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