Encontre as primitivas das funções:
f(x)=\frac{5}{x}-2 x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{5}{x}-2x e pede as primitivas dessa função, isto é, todas as funções F(x) tais que F'(x)=f(x). Informação importante: a função f está definida para x\neq0. O que se busca é a família de antiderivadas (uma função mais uma constante arbitrária).

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicadinhos, sem pular etapas):
  • Definição: uma primitiva F de f satisfaz F'(x)=f(x) para todos x do domínio considerado.
  • Linearidade da primitiva: se f(x)=a(x)+b(x) então
\int f(x)\,dx=\int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx,
e constantes saem da integral:
\int k\cdot g(x)\,dx = k\int g(x)\,dx,
onde k é constante.
  • Regra do poder (quando aplicar): para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui C é a constante arbitrária de integração (significa que há muitas primitivas, iguais até uma constante).
  • Caso especial para 1/x: para x\neq0,
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Explicação rápida do valor absoluto: \ln(x) só está definido para x>0, mas a função 1/x existe tanto para x>0 quanto para x<0; a primitiva que funciona em ambos os lados é \ln|x|. A derivada de \ln|x| é 1/x para x\neq0.

Passo 3

Separar a integral usando linearidade:
\int \left(\frac{5}{x}-2x\right)\,dx = \int \frac{5}{x}\,dx - \int 2x\,dx.
Agora tratamos cada parcela individualmente.

Passo 4

Integrando a primeira parcela:
\int \frac{5}{x}\,dx = 5\int \frac{1}{x}\,dx = 5\ln|x| + C_1,
onde usei a constante 5 fora da integral e a primitiva de 1/x. Aqui C_1 é uma constante de integração temporária (vai se combinar com a outra no final).

Passo 5

Integrando a segunda parcela:
\int 2x\,dx = 2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}+C_2 = x^{2}+C_2.
Portanto, com o sinal negativo que estava na soma,
- \int 2x\,dx = -x^{2} - C_2.

Passo 6

Somando as duas primitivas (e juntando as constantes C_1 e -C_2 em uma constante única C):
\int \left(\frac{5}{x}-2x\right)\,dx = 5\ln|x| - x^{2} + C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivando F(x)=5\ln|x|-x^{2}+C obtemos
F'(x)=\frac{5}{x}-2x,
para x\neq0, que é exatamente f(x). Logo está correto.

Resposta

\;5\ln|x|-x^{2}+C

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