Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as primitivas dessa função, isto é, todas as funções
tais que
. Informação importante: a função
está definida para
. O que se busca é a família de antiderivadas (uma função mais uma constante arbitrária).
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicadinhos, sem pular etapas):
- Definição: uma primitiva
de satisfaz para todos do domínio considerado. - Linearidade da primitiva: se
então
e constantes saem da integral:
onde
é constante.
- Regra do poder (quando aplicar): para
,
Aqui
é a constante arbitrária de integração (significa que há muitas primitivas, iguais até uma constante).
- Caso especial para
: para ,
Explicação rápida do valor absoluto:
só está definido para
, mas a função
existe tanto para
quanto para
; a primitiva que funciona em ambos os lados é
. A derivada de
é
para
.
Passo 3
Separar a integral usando linearidade:
Agora tratamos cada parcela individualmente.
Passo 4
Integrando a primeira parcela:
onde usei a constante
fora da integral e a primitiva de
. Aqui
é uma constante de integração temporária (vai se combinar com a outra no final).
Passo 5
Integrando a segunda parcela:
Portanto, com o sinal negativo que estava na soma,
Passo 6
Somando as duas primitivas (e juntando as constantes
e
em uma constante única
):
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivando
obtemos
para
, que é exatamente
. Logo está correto.