Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas, ou integrais indefinidas) da função
Informações dadas:
- A função é um polinômio multiplicado pela constante
. - A resposta deve ser uma família de funções
tais que (mais uma constante de integração).
Passo 2
O que significa achar uma primitiva e quais regras vamos usar (explicação didática):
- Uma primitiva
de é uma função que satisfaz . Ao fazer uma integral indefinida escrevemos , onde é a constante de integração. - Regra da linearidade: para constantes
e funções ,
Isso permite integrar termo a termo.
- Regra do “power rule” (regra do expoente) para potências: para
,
Aqui
é um número real (o expoente) e
é a constante de integração. Exemplo concreto:
.
- Integração de constante: se
é constante então
Passo 3
Vamos simplificar a função antes de integrar, distribuindo
:
Agora aplicamos a linearidade e integramos termo a termo.
Passo 4
Integração termo a termo (mostrando cada etapa):
- Para
: usar constante fora da integral e a regra do expoente com :
- Para
: constante fora; usar a regra do expoente com :
(Observação aritmética:
.)
- Para
(constante): aplicar a regra da constante:
Lembrar de somar a constante de integração
ao final. Para checar (rápido): derivando cada uma das primitivas parciais obtém-se de volta os termos originais de
, então a combinação correta devolve
.