Encontre as primitivas das funções:
f(x)=\sqrt{3}\left(x^{2}-2 x^{7}-2\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas, ou integrais indefinidas) da função
f(x)=\sqrt{3}\left(x^{2}-2 x^{7}-2\right).
Informações dadas:
  • A função é um polinômio multiplicado pela constante \sqrt{3}.
  • A resposta deve ser uma família de funções F(x) tais que F'(x)=f(x) (mais uma constante de integração).

Passo 2

O que significa achar uma primitiva e quais regras vamos usar (explicação didática):
  • Uma primitiva F de f é uma função que satisfaz F'(x)=f(x). Ao fazer uma integral indefinida escrevemos \displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx + C, onde C é a constante de integração.
  • Regra da linearidade: para constantes a,b e funções g,h,
\int \bigl(a\,g(x)+b\,h(x)\bigr)\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
Isso permite integrar termo a termo.
  • Regra do “power rule” (regra do expoente) para potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é um número real (o expoente) e C é a constante de integração. Exemplo concreto: \displaystyle \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.
  • Integração de constante: se k é constante então
\int k\,dx = kx + C.

Passo 3

Vamos simplificar a função antes de integrar, distribuindo \sqrt{3}:
f(x)=\sqrt{3}\,x^{2} - 2\sqrt{3}\,x^{7} - 2\sqrt{3}.
Agora aplicamos a linearidade e integramos termo a termo.

Passo 4

Integração termo a termo (mostrando cada etapa):
  1. Para \sqrt{3}\,x^{2}: usar constante fora da integral e a regra do expoente com n=2:
\int \sqrt{3}\,x^{2}\,dx = \sqrt{3}\int x^{2}\,dx = \sqrt{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}\,x^{3}.
  1. Para -2\sqrt{3}\,x^{7}: constante -2\sqrt{3} fora; usar a regra do expoente com n=7:
\int -2\sqrt{3}\,x^{7}\,dx = -2\sqrt{3}\int x^{7}\,dx = -2\sqrt{3}\cdot\frac{x^{8}}{8} = -\frac{2\sqrt{3}}{8}\,x^{8} = -\frac{\sqrt{3}}{4}\,x^{8}.
(Observação aritmética: \dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}.)
  1. Para -2\sqrt{3} (constante): aplicar a regra da constante:
\int -2\sqrt{3}\,dx = -2\sqrt{3}\,x.
Lembrar de somar a constante de integração C ao final. Para checar (rápido): derivando cada uma das primitivas parciais obtém-se de volta os termos originais de f(x), então a combinação correta devolve f.

Resposta

F(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}\,x^{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\,x^{8}-2\sqrt{3}\,x + C

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