Encontre as primitivas das funções:
f(x)=\frac{2}{x^{3}}-\frac{3}{x^{4}}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{2}{x^{3}}-\dfrac{3}{x^{4}} e pede as primitivas (isto é, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x)).
Informações relevantes:
  • A função pode ser escrita em potências negativas como f(x)=2x^{-3}-3x^{-4}.
  • As primitivas são definidas em intervalos que não contêm x=0 (portanto considerar x\neq0).
  • Ao final deve aparecer a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia e teoria que vamos usar (explicadinha e mastigada):
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int (a\cdot g(x)+b\cdot h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx. Ou seja, podemos integrar termo a termo e puxar constantes para fora.
  • Regra da potência para primitivas (caso importante): para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação curta do porquê: derivando \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtém-se \dfrac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}, então essa é uma primitiva. Note que não vale para n=-1 (caso \int x^{-1}\,dx que dá \ln|x|).

Passo 3

Reescrevendo o integrando em potências (peguei isso do enunciado):
f(x)=2x^{-3}-3x^{-4}.
Aplicando a linearidade:
\int f(x)\,dx=\int\big(2x^{-3}-3x^{-4}\big)\,dx =2\int x^{-3}\,dx -3\int x^{-4}\,dx.

Passo 4

Calcular cada primitiva usando a regra da potência:
  • Para \displaystyle \int x^{-3}\,dx: aqui n=-3, então
\int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}x^{-2}.
Multiplicando por 2 (da etapa anterior):
2\int x^{-3}\,dx = 2\cdot\left(-\frac{1}{2}x^{-2}\right) = -x^{-2}.

Passo 5

Agora o segundo termo: para \displaystyle \int x^{-4}\,dx com n=-4,
\int x^{-4}\,dx=\frac{x^{-3}}{-3}=-\frac{1}{3}x^{-3}.
Multiplicando por -3 (lembre do sinal):
-3\int x^{-4}\,dx = -3\cdot\left(-\frac{1}{3}x^{-3}\right) = x^{-3}.

Passo 6

Somando os dois resultados e adicionando a constante de integração C:
\int f(x)\,dx = -x^{-2} + x^{-3} + C.
Podemos escrever com frações positivas:
\int f(x)\,dx = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + C.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): derivando \displaystyle F(x)=-x^{-2}+x^{-3}+C,
F'(x)= -(-2)x^{-3} + (-3)x^{-4} = 2x^{-3}-3x^{-4}=f(x),
logo está correto.

Resposta

-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}+C

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