Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as primitivas (isto é, encontrar uma função
tal que
).
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função pode ser escrita em potências negativas como
. - As primitivas são definidas em intervalos que não contêm
(portanto considerar ). - Ao final deve aparecer a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia e teoria que vamos usar (explicadinha e mastigada):
- Linearidade da integral:
. Ou seja, podemos integrar termo a termo e puxar constantes para fora. - Regra da potência para primitivas (caso importante): para
,
Explicação curta do porquê: derivando
obtém-se
, então essa é uma primitiva. Note que não vale para
(caso
que dá
).
Passo 3
Reescrevendo o integrando em potências (peguei isso do enunciado):
Aplicando a linearidade:
Passo 4
Calcular cada primitiva usando a regra da potência:
- Para
: aqui , então
Multiplicando por
(da etapa anterior):
Passo 5
Agora o segundo termo: para
com
,
Multiplicando por
(lembre do sinal):
Passo 6
Somando os dois resultados e adicionando a constante de integração
:
Podemos escrever com frações positivas:
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): derivando
,
logo está correto.