Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre as primitivas da função
". Informações dadas:
- A função é
. - A tarefa é encontrar todas as primitivas (ou seja, a família de antiderivadas) de
. - Observação sobre domínio: a raiz cúbica está definida para todos os reais, logo a função está definida em
.
Passo 2
O que é uma primitiva? Uma função
é primitiva de
quando, para todo
do domínio, vale
. Ao procurar primitivas nós calculamos integrais indefinidas:
. Lembretes úteis que vamos usar:
- Linearidade da integral:
e para constante . - Regra do expoente (power rule): para
,
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Reescrever a função em potências facilita aplicar a regra do expoente. Temos
portanto
Passo 4
Aplicando a linearidade da integral:
Passo 5
Calcular a primeira integral usando a regra do expoente com
. Então
e
Explicando: dividimos por
, que é
, e dividir por
é multiplicar por
.
Passo 6
Calcular a segunda integral com
:
Multiplicando pelo fator
que estava fora, obtemos
.
Passo 7
Somando as duas partes e incluindo a constante de integração
, a família de primitivas é
com
.
Passo 8
Verificação (sempre bom checar na prova): derivando
,
Confere certinho.