Encontre as primitivas das funções:
f(x)=\sqrt[3]{x}-2 x

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre as primitivas da função f(x)=\sqrt[3]{x}-2 x". Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt[3]{x}-2 x.
  • A tarefa é encontrar todas as primitivas (ou seja, a família de antiderivadas) de f.
  • Observação sobre domínio: a raiz cúbica está definida para todos os reais, logo a função está definida em \mathbb{R}.

Passo 2

O que é uma primitiva? Uma função F é primitiva de f quando, para todo x do domínio, vale F'(x)=f(x). Ao procurar primitivas nós calculamos integrais indefinidas: \displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx. Lembretes úteis que vamos usar:
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int\big(u(x)+v(x)\big)\,dx=\int u(x)\,dx+\int v(x)\,dx e \displaystyle \int a\cdot u(x)\,dx = a\int u(x)\,dx para constante a.
  • Regra do expoente (power rule): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Reescrever a função em potências facilita aplicar a regra do expoente. Temos
\sqrt[3]{x}=x^{1/3},
portanto
f(x)=x^{1/3}-2x.

Passo 4

Aplicando a linearidade da integral:
\int f(x)\,dx=\int x^{1/3}\,dx - 2\int x\,dx.

Passo 5

Calcular a primeira integral usando a regra do expoente com n=\tfrac{1}{3}. Então n+1=\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{4}{3} e
\int x^{1/3}\,dx=\frac{x^{4/3}}{4/3}=\frac{3}{4}\,x^{4/3}.
Explicando: dividimos por n+1, que é \tfrac{4}{3}, e dividir por \tfrac{4}{3} é multiplicar por \tfrac{3}{4}.

Passo 6

Calcular a segunda integral com n=1:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Multiplicando pelo fator -2 que estava fora, obtemos -2\cdot\frac{x^{2}}{2}=-x^{2}.

Passo 7

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, a família de primitivas é
F(x)=\frac{3}{4}\,x^{4/3}-x^{2}+C,
com C\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação (sempre bom checar na prova): derivando F,
F'(x)=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}\,x^{1/3}-2x=x^{1/3}-2x=f(x).
Confere certinho.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{3}{4}\,x^{4/3}-x^{2}+C

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