Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes que temos:
- Há dois termos com
cujos coeficientes são constantes ( e ). - Há um termo constante
. - Precisamos encontrar todas as funções
tais que , ou seja, a família de primitivas com constante de integração.
Passo 2
Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Regra da linearidade da integral: a integral de soma é soma das integrais e constantes saem da integral. Formalmente, para constantes
e funções ,
Isto serve para separar cada termo e tratar coeficientes constantes individualmente.
- Regra da potência (para primitiva): para
,
Aqui
é o expoente e
é a constante arbitrária de integração.
- Integral de constante: se
é constante,
Estas fórmulas são suficientes porque todos os termos em
são polinomiais ou constantes.
Passo 3
Simplificamos a expressão antes de integrar, juntando os termos semelhantes em
:
Portanto
Passo 4
Aplicamos a linearidade da integral e as regras acima:
Agora calculamos cada integral:
- Para
, usando a regra da potência com ,
- Para
, como é constante,
Passo 5
Substituindo os resultados:
onde
é a constante de integração. Podemos também escrever distribuindo o coeficiente:
mas a forma mais compacta é a da linha anterior.