Encontre as primitivas das funções:
f(x)=\sqrt{2} x^{3}-\sqrt{5} x^{3}-\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função dada. A função fornecida é
f(x)=\sqrt{2}\,x^{3}-\sqrt{5}\,x^{3}-\frac{1}{3}.
Informações relevantes que temos:
  • Há dois termos com x^{3} cujos coeficientes são constantes ( \sqrt{2} e \sqrt{5}).
  • Há um termo constante -\dfrac{1}{3}.
  • Precisamos encontrar todas as funções F(x) tais que F'(x)=f(x), ou seja, a família de primitivas com constante de integração.

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Regra da linearidade da integral: a integral de soma é soma das integrais e constantes saem da integral. Formalmente, para constantes a,b e funções g,h,
\int\bigl(a\,g(x)+b\,h(x)\bigr)\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
Isto serve para separar cada termo e tratar coeficientes constantes individualmente.
  • Regra da potência (para primitiva): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é o expoente e C é a constante arbitrária de integração.
  • Integral de constante: se k é constante,
\int k\,dx = kx + C.
Estas fórmulas são suficientes porque todos os termos em f(x) são polinomiais ou constantes.

Passo 3

Simplificamos a expressão antes de integrar, juntando os termos semelhantes em x^{3}:
\sqrt{2}\,x^{3}-\sqrt{5}\,x^{3} = \bigl(\sqrt{2}-\sqrt{5}\bigr)\,x^{3}.
Portanto
f(x)=\bigl(\sqrt{2}-\sqrt{5}\bigr)\,x^{3}-\frac{1}{3}.

Passo 4

Aplicamos a linearidade da integral e as regras acima:
\int f(x)\,dx = \int\Bigl(\bigl(\sqrt{2}-\sqrt{5}\bigr)\,x^{3}-\frac{1}{3}\Bigr)\,dx = \bigl(\sqrt{2}-\sqrt{5}\bigr)\int x^{3}\,dx \;-\; \int \frac{1}{3}\,dx.
Agora calculamos cada integral:
  • Para \int x^{3}\,dx, usando a regra da potência com n=3,
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
  • Para \int \frac{1}{3}\,dx, como \dfrac{1}{3} é constante,
\int \frac{1}{3}\,dx = \frac{1}{3}x.

Passo 5

Substituindo os resultados:
\int f(x)\,dx = \bigl(\sqrt{2}-\sqrt{5}\bigr)\frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{3}x + C,
onde C é a constante de integração. Podemos também escrever distribuindo o coeficiente:
\int f(x)\,dx = \frac{\sqrt{2}}{4}\,x^{4} - \frac{\sqrt{5}}{4}\,x^{4} - \frac{x}{3} + C,
mas a forma mais compacta é a da linha anterior.

Resposta

F(x)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{4}\,x^{4}-\frac{x}{3}+C

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