Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é dada por duas parcelas; é pedido integrar a soma (ou diferença) delas.
- A raiz cúbica
está definida para todo . - A raiz quarta de
pode ser reescrita como portanto a segunda parcela envolve valor absoluto e isso exige cuidado: a integral será, em princípio, diferente para e . - Em resumo, é preciso encontrar primitiva de
(válida em todo ) e primitiva de (que será tratada de maneira peça a peça).
Passo 2
Reescrever as parcelas usando potências racionais (isso facilita aplicar a regra de potência):
-
. -
se considerarmos só , mas para todo corretamente temos .
Logo escrevemos
Agora a ferramenta principal que vamos usar: a regra de potência para integrais.
Regra de potência (explicada): para um número real
,
Nessa fórmula:
-
é a variável de integração; -
é o expoente; -
é a constante de integração (aparece porque antiderivada é determinada até uma constante).
Vamos aplicá-la termo a termo em, cuidando do termo com valor absoluto de modo separado para e .
Passo 3
Integral da primeira parcela
(válida para todo
):
- Aplicando a regra de potência com
: - Multiplicando por
:
Essa primitiva é válida para todos os
.
Passo 4
Integral da segunda parcela
: vamos tratar separadamente os casos
e
.
Caso
:
- Aqui
. - Aplicando a regra de potência com
: - Multiplicando por
:
Caso
:
- Aqui
(porque quando ). - Para integrar
faça a substituição rápida (então ): - Multiplicando por
:
Passo 5
Juntando as duas parcelas (primeira parcela válida em todo
, segunda tratada peça a peça) obtemos as primitivas:
-
Para
: -
Para
:
Explicação curta do porquê da diferença: a presença de
força a expressão anti-derivada da segunda parcela a mudar de sinal quando
muda de sinal; a primeira parcela não sofre esse problema porque a raiz cúbica permite escrever
para todo
sem valor absoluto.
Passo 6
Forma única e compacta (opcional): as duas fórmulas acima podem ser unificadas usando
, pois
. Uma forma unificada é
que, se desejado, vale para todo
e ao derivar reproduz
.
Passo 7
Derivando a forma para
:
-
. -
.
Somando:para . Para a verificação é análoga usando .
Resposta
Para
Para
(Uma forma unificada:
, válida para todo
.)