Encontre as primitivas das funções:
f(x)=2 \sqrt[3]{x}-3 \sqrt[4]{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
f(x)=2\sqrt[3]{x}-3\sqrt[4]{x^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é dada por duas parcelas; é pedido integrar a soma (ou diferença) delas.
  • A raiz cúbica \sqrt[3]{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A raiz quarta de x^{2} pode ser reescrita como \sqrt[4]{x^{2}}=(x^{2})^{1/4}=|x|^{1/2},portanto a segunda parcela envolve valor absoluto e isso exige cuidado: a integral será, em princípio, diferente para x\ge 0 e x<0.
  • Em resumo, é preciso encontrar primitiva de 2\sqrt[3]{x} (válida em todo \mathbb{R}) e primitiva de -3\sqrt[4]{x^{2}}=-3|x|^{1/2} (que será tratada de maneira peça a peça).

Passo 2

Reescrever as parcelas usando potências racionais (isso facilita aplicar a regra de potência):
  • \sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
  • \sqrt[4]{x^{2}}=(x^{2})^{1/4}=x^{2/4}=x^{1/2} se considerarmos só x\ge0, mas para todo x corretamente temos \sqrt[4]{x^{2}}=|x|^{1/2}.
    Logo escrevemos
f(x)=2x^{1/3}-3|x|^{1/2}.
Agora a ferramenta principal que vamos usar: a regra de potência para integrais.
Regra de potência (explicada): para um número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Nessa fórmula:
  • x é a variável de integração;
  • n é o expoente;
  • C é a constante de integração (aparece porque antiderivada é determinada até uma constante).
    Vamos aplicá-la termo a termo em f(x), cuidando do termo com valor absoluto de modo separado para x\ge0 e x<0.

Passo 3

Integral da primeira parcela 2x^{1/3} (válida para todo x):
  • Aplicando a regra de potência com n=\tfrac{1}{3}: \int x^{1/3}\,dx=\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}=\frac{x^{4/3}}{4/3}=\frac{3}{4}x^{4/3}.
  • Multiplicando por 2: \int 2x^{1/3}\,dx=2\cdot\frac{3}{4}x^{4/3}=\frac{3}{2}x^{4/3}.
Essa primitiva é válida para todos os x.

Passo 4

Integral da segunda parcela -3|x|^{1/2}: vamos tratar separadamente os casos x\ge0 e x<0.
Caso x\ge0:
  • Aqui |x|^{1/2}=x^{1/2}.
  • Aplicando a regra de potência com n=\tfrac{1}{2}: \int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
  • Multiplicando por -3: \int -3x^{1/2}\,dx=-3\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}=-2x^{3/2}.
Caso x<0:
  • Aqui |x|^{1/2}=(-x)^{1/2} (porque |x|=-x quando x<0).
  • Para integrar (-x)^{1/2} faça a substituição rápida u=-x (então du=-dx): \int (-x)^{1/2}\,dx = -\int u^{1/2}\,du = -\frac{2}{3}u^{3/2} + C = -\frac{2}{3}(-x)^{3/2}+C.
  • Multiplicando por -3: \int -3(-x)^{1/2}\,dx = -3\left(-\frac{2}{3}(-x)^{3/2}\right)=+2(-x)^{3/2}.

Passo 5

Juntando as duas parcelas (primeira parcela válida em todo \mathbb{R}, segunda tratada peça a peça) obtemos as primitivas:
  • Para x\ge 0:
    F(x)=\frac{3}{2}x^{4/3}-2x^{3/2}+C.
  • Para x<0:
    F(x)=\frac{3}{2}x^{4/3}+2(-x)^{3/2}+C.
Explicação curta do porquê da diferença: a presença de |x|^{1/2} força a expressão anti-derivada da segunda parcela a mudar de sinal quando x muda de sinal; a primeira parcela não sofre esse problema porque a raiz cúbica permite escrever x^{1/3} para todo x sem valor absoluto.

Passo 6

Forma única e compacta (opcional): as duas fórmulas acima podem ser unificadas usando x|x|^{1/2}, pois x|x|^{1/2}=\operatorname{sign}(x)|x|^{3/2}. Uma forma unificada é
F(x)=\frac{3}{2}x^{4/3}-2x|x|^{1/2}+C,
que, se desejado, vale para todo x e ao derivar reproduz f(x).

Passo 7

Derivando a forma para x\ge0:
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\tfrac{3}{2}x^{4/3}\right)=\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{4}{3}x^{1/3}=2x^{1/3}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(-2x^{3/2}\right)=-2\cdot\tfrac{3}{2}x^{1/2}=-3x^{1/2}.
    Somando: 2x^{1/3}-3x^{1/2}=f(x) para x\ge0. Para x<0 a verificação é análoga usando (-x)^{3/2}.

Resposta

Para x\ge 0:\quad F(x)=\dfrac{3}{2}x^{4/3}-2x^{3/2}+C
Para x<0:\quad F(x)=\dfrac{3}{2}x^{4/3}+2(-x)^{3/2}+C
(Uma forma unificada: F(x)=\dfrac{3}{2}x^{4/3}-2x|x|^{1/2}+C, válida para todo x.)

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