Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre as primitivas da função
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada)
tal que . - Lembrete: primitivas são definidas até uma constante aditiva
(ou seja, todas as primitivas diferem por uma constante).
Passo 2
Conceitos e regras que usaremos (explicação didática):
- Linearidade da integração: a integral (primitiva) de uma soma é a soma das primitivas e constantes podem ser tiradas para fora:
Aqui e são constantes e são funções. - Regra da potência (para
): a primitiva de é Nessa fórmula, é um número real diferente de ; a expressão significa que aumentamos o expoente em e dividimos pelo novo expoente. - Primitiva de constante: para uma constante
, - Sempre acrescentamos uma constante de integração
no final, porque derivadas de constantes são zero.
Passo 3
Integrando o primeiro termo
:
- Uso da linearidade:
. - Aplicando a regra da potência com
: - Portanto
Passo 4
Integrando o segundo termo
:
- Uso da linearidade:
. - Aplicando a regra da potência com
: - Portanto
Passo 5
Integrando o terceiro termo
(constante):
- Usando a primitiva de constante:
Passo 6
Somando as primitivas parciais e acrescentando a constante de integração
:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 7
Verificação rápida (derivando para checar):
- Derivando
: que é exatamente . Logo a primitiva está correta. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo.