Encontre as primitivas das funções:
f(x)=-3 x^{3}-2 x^{2}-1

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre as primitivas da função f(x)=-3 x^{3}-2 x^{2}-1".
Informações dadas:
  • A função é f(x)=-3 x^{3}-2 x^{2}-1.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada) F(x) tal que F'(x)=f(x).
  • Lembrete: primitivas são definidas até uma constante aditiva C (ou seja, todas as primitivas diferem por uma constante).

Passo 2

Conceitos e regras que usaremos (explicação didática):
  • Linearidade da integração: a integral (primitiva) de uma soma é a soma das primitivas e constantes podem ser tiradas para fora: \int (a\cdot g(x)+b\cdot h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.Aqui a e b são constantes e g,h são funções.
  • Regra da potência (para n\neq -1): a primitiva de x^{n} é \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.Nessa fórmula, n é um número real diferente de -1; a expressão significa que aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente.
  • Primitiva de constante: para uma constante k, \int k\,dx = kx.
  • Sempre acrescentamos uma constante de integração C no final, porque derivadas de constantes são zero.

Passo 3

Integrando o primeiro termo -3 x^{3}:
  • Uso da linearidade: \int -3 x^{3}\,dx = -3\int x^{3}\,dx.
  • Aplicando a regra da potência com n=3: \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
  • Portanto \int -3 x^{3}\,dx = -3\cdot\frac{x^{4}}{4} = -\frac{3}{4}x^{4}.

Passo 4

Integrando o segundo termo -2 x^{2}:
  • Uso da linearidade: \int -2 x^{2}\,dx = -2\int x^{2}\,dx.
  • Aplicando a regra da potência com n=2: \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
  • Portanto \int -2 x^{2}\,dx = -2\cdot\frac{x^{3}}{3} = -\frac{2}{3}x^{3}.

Passo 5

Integrando o terceiro termo -1 (constante):
  • Usando a primitiva de constante: \int -1\,dx = -1\cdot x = -x.

Passo 6

Somando as primitivas parciais e acrescentando a constante de integração C:
F(x) = -\frac{3}{4}x^{4} - \frac{2}{3}x^{3} - x + C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 7

Verificação rápida (derivando para checar):
  • Derivando F(x): F'(x) = -\frac{3}{4}\cdot 4x^{3} - \frac{2}{3}\cdot 3x^{2} - 1 = -3x^{3} - 2x^{2} - 1,que é exatamente f(x). Logo a primitiva está correta. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo.

Resposta

-\dfrac{3}{4}x^{4}-\dfrac{2}{3}x^{3}-x+C

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