Encontre as primitivas das funções:
f(x)=2 \sqrt{x}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre as primitivas da função f(x)=2\sqrt{x}-x^{2}".
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2\sqrt{x}-x^{2}.
  • Precisa-se encontrar as primitivas (ou antiderivadas), ou seja, todas as funções F(x) tais que F'(x)=f(x).

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função numa forma que facilita aplicar regras de integração. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2}. Portanto:
f(x)=2x^{1/2}-x^{2}.

Passo 3

Vou usar duas propriedades básicas de integrais (explico cada uma):
  • Linearidade: a integral de soma é soma das integrais e constantes saem da integral. Ou seja, para constantes a,b e funções g,h,
\int \big(a\,g(x)+b\,h(x)\big)\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
  • Regra da potência (para primitiva): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui cada símbolo significa: x é a variável, n é o expoente, e C é qualquer constante real (porque derivada de constante é zero).

Passo 4

Vamos aplicar a linearidade para separar os termos de f:
\int f(x)\,dx = \int \big(2x^{1/2}-x^{2}\big)\,dx = 2\int x^{1/2}\,dx - \int x^{2}\,dx.
Expliquei o que fiz: puxei o 2 para fora na primeira integral e mantive o sinal negativo na segunda.

Passo 5

Agora aplico a regra da potência a cada integral.
Para o primeiro termo, com n=\tfrac{1}{2}:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}+C_1 = \frac{x^{3/2}}{3/2}+C_1 = \frac{2}{3}x^{3/2}+C_1.
Multiplicando pelo 2 que estava fora:
2\int x^{1/2}\,dx = 2\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} = \frac{4}{3}x^{3/2}.
Para o segundo termo, com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1}+C_2 = \frac{x^{3}}{3}+C_2.
Como havia um sinal negativo:
- \int x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Somando os resultados e juntando as constantes de integração ( C_1 e C_2 combinam numa única constante C):
\int f(x)\,dx = \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^{3} + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): derivando a primitiva encontrada deve voltar f(x). Calculemos a derivada de F(x)=\dfrac{4}{3}x^{3/2}-\dfrac{1}{3}x^{3}:
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{4}{3}x^{3/2}\right)=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{3}{2}x^{1/2}=2x^{1/2}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(-\dfrac{1}{3}x^{3}\right)=-\dfrac{1}{3}\cdot 3x^{2}=-x^{2}.
    Somando: 2x^{1/2}-x^{2}=f(x). Está correto.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{4}{3}x^{3/2}-\frac{1}{3}x^{3}+C

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