Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre as primitivas da função
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Precisa-se encontrar as primitivas (ou antiderivadas), ou seja, todas as funções
tais que .
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função numa forma que facilita aplicar regras de integração. Lembre que
. Portanto:
Passo 3
Vou usar duas propriedades básicas de integrais (explico cada uma):
- Linearidade: a integral de soma é soma das integrais e constantes saem da integral. Ou seja, para constantes
e funções ,
- Regra da potência (para primitiva): para
,
onde
é a constante de integração. Aqui cada símbolo significa:
é a variável,
é o expoente, e
é qualquer constante real (porque derivada de constante é zero).
Passo 4
Vamos aplicar a linearidade para separar os termos de
:
Expliquei o que fiz: puxei o
para fora na primeira integral e mantive o sinal negativo na segunda.
Passo 5
Agora aplico a regra da potência a cada integral.
Para o primeiro termo, com
:
Multiplicando pelo
que estava fora:
Para o segundo termo, com
:
Como havia um sinal negativo:
Passo 6
Somando os resultados e juntando as constantes de integração (
e
combinam numa única constante
):
Passo 7
Verificação rápida (útil para a prova): derivando a primitiva encontrada deve voltar
. Calculemos a derivada de
:
-
. -
.
Somando:. Está correto.