Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
f(x)=x^{2} \sin x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=x^{2}\sin x.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}\sin x.
  • Quer-se uma expressão F(x) tal que F'(x)=x^{2}\sin x.
  • O método solicitado é integração por partes.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da integração por partes. Se escolhermos duas funções u(x) e v(x) com derivadas/integráveis apropriadas, vale:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando cada símbolo:
  • u é uma função de x que vamos diferenciar: du é sua diferencial, isto é du = u'(x)\,dx.
  • dv é a parte do integrando que vamos integrar: v é uma primitiva de dv, isto é v = \int dv.
    A estratégia prática para produtos polinômio × função trigonométrica é escolher u o polinômio (porque derivando ele diminui o grau) e dv a função trigonométrica.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso, escolhemos na primeira aplicação:
u = x^{2},\qquad dv = \sin x\,dx.
Calculamos du e v:
du = 2x\,dx,\qquad v = \int \sin x\,dx = -\cos x.
Agora aplicamos a fórmula:
\int x^{2}\sin x\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo:
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x - \int (-\cos x)\,(2x\,dx).
Simplificando o sinal:
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\int x\cos x\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular \int x\cos x\,dx. Aplicamos integração por partes de novo, escolhendo:
u = x,\qquad dv = \cos x\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int \cos x\,dx = \sin x.
Aplicando a fórmula:
\int x\cos x\,dx = u v - \int v\,du = x\sin x - \int \sin x\,dx.
E \int \sin x\,dx = -\cos x, portanto
\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x.

Passo 5

Voltando para a expressão obtida no Passo 3:
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\bigl(\,x\sin x + \cos x\,\bigr) + C,
onde C é a constante de integração. Desenvolvendo:
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.
Uma forma equivalente, mais compacta, é:
\int x^{2}\sin x\,dx = (2 - x^{2})\cos x + 2x\sin x + C.

Passo 6

Verificação rápida (derivando para conferir que volta a x^{2}\sin x):
Derivando F(x) = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x:
  • ( -x^{2}\cos x )' = -2x\cos x + x^{2}\sin x (regra do produto),
  • (2x\sin x)' = 2\sin x + 2x\cos x,
  • (2\cos x)' = -2\sin x.
    Somando: -2x\cos x + x^{2}\sin x + 2\sin x + 2x\cos x -2\sin x = x^{2}\sin x. Confere.

Resposta

\displaystyle -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C

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