Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Quer-se uma expressão
tal que . - O método solicitado é integração por partes.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da integração por partes. Se escolhermos duas funções
e
com derivadas/integráveis apropriadas, vale:
Explicando cada símbolo:
-
é uma função de que vamos diferenciar: é sua diferencial, isto é . -
é a parte do integrando que vamos integrar: é uma primitiva de , isto é .
A estratégia prática para produtos polinômio × função trigonométrica é escolhero polinômio (porque derivando ele diminui o grau) e a função trigonométrica.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso, escolhemos na primeira aplicação:
Calculamos
e
:
Agora aplicamos a fórmula:
Substituindo:
Simplificando o sinal:
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Aplicamos integração por partes de novo, escolhendo:
Então
Aplicando a fórmula:
E
, portanto
Passo 5
Voltando para a expressão obtida no Passo 3:
onde
é a constante de integração. Desenvolvendo:
Uma forma equivalente, mais compacta, é:
Passo 6
Verificação rápida (derivando para conferir que volta a
):
Derivando :
Derivando
-
(regra do produto), -
, -
.
Somando:. Confere.