Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
f(x)=x^{2} e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (isto é, uma antiderivada geral) da função f(x)=x^{2}e^{-x}.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{2}e^{-x}.
  • Queremos uma função F(x) tal que F'(x)=f(x), ou seja, calcular \displaystyle\int x^{2}e^{-x}\,dx.

Passo 2

Apresentando a ferramenta que vamos usar: fórmula de integração por partes. Ela vem da regra do produto da diferenciação. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, pela regra do produto
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u(x)\,v'(x)+v(x)\,u'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x e rearranjando, obtemos a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Explicando o que cada coisa significa:
  • u é uma função que escolhemos (deve ser diferenciável);
  • dv é outra parte da integral, com v=\int dv;
  • du é a derivada de u multiplicada por dx (ou seja, du=u'(x)\,dx);
  • A fórmula troca a integral original por outra (às vezes mais simples).
    Estratégia prática: quando aparecer um produto de um polinómio por uma função exponencial ou trigonométrica, costuma ser bom escolher u como o polinómio (porque sua derivada reduz o grau) e dv como a exponencial (fácil de integrar).

Passo 3

Aplicando a integração por partes à integral \displaystyle\int x^{2}e^{-x}\,dx:
Escolha
u = x^{2},\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Agora usamos \displaystyle\int u\,dv = u\,v - \int v\,du:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = x^{2}\cdot(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot(2x\,dx).
Simplificando:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx.

Passo 4

Calculamos agora \displaystyle\int x e^{-x}\,dx (a integral restante) novamente por partes.
Escolha
u = x,\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = -e^{-x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{-x}\,dx = x\cdot(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot dx.
Simplificando:
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
E \displaystyle\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}, logo
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C.

Passo 5

Voltar à expressão do Passo 3 e substituir o resultado de \displaystyle\int x e^{-x}\,dx:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\big( -(x+1)e^{-x}\big) + C.
Fazendo a multiplicação e agrupando termos:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} -2x e^{-x} -2 e^{-x} + C.
Fatorando -e^{-x}:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -e^{-x}\big(x^{2}+2x+2\big) + C.

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza): seja F(x)=-e^{-x}(x^{2}+2x+2). Derivando com regra do produto:
F'(x)=\big(-e^{-x}\big)'(x^{2}+2x+2)+(-e^{-x})\big(2x+2\big).
Como \big(-e^{-x}\big)'=e^{-x}, temos
F'(x)=e^{-x}(x^{2}+2x+2)-e^{-x}(2x+2)=e^{-x}x^{2},
que é exatamente f(x). Portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

-e^{-x}\big(x^{2}+2x+2\big)+C

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