Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (isto é, uma antiderivada geral) da função
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Queremos uma função
tal que , ou seja, calcular .
Passo 2
Apresentando a ferramenta que vamos usar: fórmula de integração por partes. Ela vem da regra do produto da diferenciação. Se
e
são funções diferenciáveis, pela regra do produto
Integrando ambos os lados em relação a
e rearranjando, obtemos a fórmula
Explicando o que cada coisa significa:
-
é uma função que escolhemos (deve ser diferenciável); -
é outra parte da integral, com ; -
é a derivada de multiplicada por (ou seja, ); - A fórmula troca a integral original por outra (às vezes mais simples).
Estratégia prática: quando aparecer um produto de um polinómio por uma função exponencial ou trigonométrica, costuma ser bom escolhercomo o polinómio (porque sua derivada reduz o grau) e como a exponencial (fácil de integrar).
Passo 3
Aplicando a integração por partes à integral
:
Escolha
Então
Agora usamos
:
Simplificando:
Passo 4
Calculamos agora
(a integral restante) novamente por partes.
Escolha
Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
E
, logo
Passo 5
Voltar à expressão do Passo 3 e substituir o resultado de
:
Fazendo a multiplicação e agrupando termos:
Fatorando
:
Passo 6
Verificação rápida (para ter certeza): seja
. Derivando com regra do produto:
Como
, temos
que é exatamente
. Portanto a primitiva encontrada está correta.