Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (ou antiderivadas) da função
pelo método da substituição.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma família de primitivas, ou seja, a integral indefinida
. - Lembrete prático: a primitiva é uma função
tal que ; ao final devemos incluir a constante de integração .
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática e simples).
- Quando a integral contém uma composição do tipo
ou e ao mesmo tempo aparece algo proporcional a (ou seja, a derivada de ), faz sentido fazer a troca . - A mudança de variável transforma a integral em termos de
, tornando-a geralmente mais simples. Formalmente, se então . - Objetivo: escolher
de modo que a integral escrita em seja uma primitiva conhecida (por exemplo ).
Passo 3
Escolha da substituição para este problema.
- Olhando para
, o argumento da função trigonométrica é . A derivada de é , que é proporcional ao fator externo . Portanto a escolha natural é
- Calcule
: como , tem-se
- Isolar
(pois aparece na integral original):
Passo 4
Reescrever a integral em termos de
.
- Substituindo
e na integral original:
- Fatorando o
para fora da integral:
Passo 5
Calcular a integral em
e voltar para
.
- A primitiva de
em relação a é , isto é . - Assim:
- Substituindo
de volta:
Passo 6
Verificação rápida (checagem por diferenciação).
- Diferenciando
usando a regra da cadeia: primeiro derivada de dá e depois multiplica pela derivada interna . Então
que é justamente
. Logo a primitiva está correta.
- Pequeno incentivo: deu trabalho escolher a substituição na primeira vez, mas esse padrão (identificar
e ver se aparece) vale para muitas integrais — com prática vira automático!