Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=x \cos x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (ou antiderivadas) da função f(x)=x\cos x^{2} pelo método da substituição.
Informações fornecidas:
  • A função a integrar é f(x)=x\cos x^{2}.
  • Quer-se uma família de primitivas, ou seja, a integral indefinida \displaystyle\int x\cos x^{2}\,dx.
  • Lembrete prático: a primitiva é uma função F(x) tal que F'(x)=f(x); ao final devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática e simples).
  • Quando a integral contém uma composição do tipo \cos(g(x)) ou \sin(g(x)) e ao mesmo tempo aparece algo proporcional a g'(x) (ou seja, a derivada de g), faz sentido fazer a troca u=g(x).
  • A mudança de variável transforma a integral em termos de u, tornando-a geralmente mais simples. Formalmente, se \;u=g(x)\; então \;du=g'(x)\,dx\;.
  • Objetivo: escolher u de modo que a integral escrita em u seja uma primitiva conhecida (por exemplo \int\cos u\,du=\sin u).

Passo 3

Escolha da substituição para este problema.
  • Olhando para \displaystyle\int x\cos x^{2}\,dx, o argumento da função trigonométrica é x^{2}. A derivada de x^{2} é 2x, que é proporcional ao fator externo x. Portanto a escolha natural é
u = x^{2}.
  • Calcule du: como u=x^{2}, tem-se
du = 2x\,dx.
  • Isolar x\,dx (pois aparece na integral original):
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Reescrever a integral em termos de u.
  • Substituindo u=x^{2} e x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du na integral original:
\int x\cos x^{2}\,dx = \int \cos(u)\left(\frac{1}{2}\,du\right).
  • Fatorando o 1/2 para fora da integral:
\int x\cos x^{2}\,dx = \frac{1}{2}\int \cos u\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u e voltar para x.
  • A primitiva de \cos u em relação a u é \sin u, isto é \displaystyle\int \cos u\,du=\sin u + C.
  • Assim:
\frac{1}{2}\int \cos u\,du = \frac{1}{2}\sin u + C.
  • Substituindo u=x^{2} de volta:
\frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Passo 6

Verificação rápida (checagem por diferenciação).
  • Diferenciando \displaystyle F(x)=\frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr)+C usando a regra da cadeia: primeiro derivada de \sin(\cdot) \cos(\cdot) e depois multiplica pela derivada interna 2x. Então
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x = x\cos\bigl(x^{2}\bigr),
que é justamente f(x). Logo a primitiva está correta.
  • Pequeno incentivo: deu trabalho escolher a substituição na primeira vez, mas esse padrão (identificar g(x) e ver se g'(x) aparece) vale para muitas integrais — com prática vira automático!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr)+C

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