Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=2 x\left(x^{2}+5\right)^{-4}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre as primitivas da função f(x)=2 x\left(x^{2}+5\right)^{-4} pelo método da substituição.”\n
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x)=2 x\left(x^{2}+5\right)^{-4}.
  • Queremos encontrar uma primitiva, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=f(x).

Passo 2

Escrevo a integral que corresponde a procurar a primitiva:
\int 2 x\left(x^{2}+5\right)^{-4}\,dx.
Vou usar substituição porque dentro da expressão há uma “parte interior” \left(x^{2}+5\right) elevada a um expoente, e sua derivada aparece multiplicando essa parte (observe o fator 2x). Isso é o sinal clássico de que uma substituição do tipo u= (parte interior) torna a integral trivial.

Passo 3

Faço a substituição. Defino
u = x^{2}+5.
Agora calculo o diferencial du. Como a derivada de x^{2}+5 em relação a x é 2x, temos
du = 2x\,dx.
Isso é ótimo porque o produto 2x\,dx aparece exatamente na integral original. Logo a integral transforma-se em uma em u.

Passo 4

Substituo na integral:
\int 2 x\left(x^{2}+5\right)^{-4}\,dx = \int u^{-4}\,du.
Aqui usei que \left(x^{2}+5\right)^{-4} vira u^{-4} e que 2x\,dx é du.

Passo 5

Agora integro \int u^{-4}\,du. Uso a regra da potência para integrais:
\text{Se } \int u^{n}\,du \text{ com } n\neq -1,\text{ então } \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.ã
No nosso caso n=-4, então n+1=-3 e
\int u^{-4}\,du = \frac{u^{-3}}{-3}+C = -\frac{1}{3}u^{-3}+C.

Passo 6

Volto à variável x substituindo u=x^{2}+5:
-\frac{1}{3}u^{-3}+C = -\frac{1}{3}\left(x^{2}+5\right)^{-3}+C.
Posso também escrever de forma equivalente:
-\frac{1}{3\left(x^{2}+5\right)^{3}}+C.

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivo a primitiva encontrada para checar se volta a f(x). Derivando
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{3}\left(x^{2}+5\right)^{-3}\right) = -\frac{1}{3}\cdot(-3)\left(x^{2}+5\right)^{-4}\cdot(2x) = 2x\left(x^{2}+5\right)^{-4},
que é exatamente f(x). Está confirmado.

Passo 8

Resumo do método (dicas rápidas para a prova): sempre que vir uma expressão do tipo \text{(derivada da parte interior)}\times(\text{parte interior})^{n} pense em u= parte interior; transforme e use a regra da potência. Isso economiza tempo e evita contas desnecessárias.

Resposta

-\dfrac{1}{3}\left(x^{2}+5\right)^{-3}+C

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