Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre as primitivas da função
pelo método da substituição.”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos encontrar uma primitiva, isto é, uma função
tal que .
Passo 2
Escrevo a integral que corresponde a procurar a primitiva:
Vou usar substituição porque dentro da expressão há uma “parte interior”
elevada a um expoente, e sua derivada aparece multiplicando essa parte (observe o fator
). Isso é o sinal clássico de que uma substituição do tipo
(parte interior) torna a integral trivial.
Passo 3
Faço a substituição. Defino
Agora calculo o diferencial
. Como a derivada de
em relação a
é
, temos
Isso é ótimo porque o produto
aparece exatamente na integral original. Logo a integral transforma-se em uma em
.
Passo 4
Substituo na integral:
Aqui usei que
vira
e que
é
.
Passo 5
Agora integro
. Uso a regra da potência para integrais:
No nosso caso
, então
e
Passo 6
Volto à variável
substituindo
:
Posso também escrever de forma equivalente:
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivo a primitiva encontrada para checar se volta a
. Derivando
que é exatamente
. Está confirmado.
Passo 8
Resumo do método (dicas rápidas para a prova): sempre que vir uma expressão do tipo
pense em
parte interior; transforme e use a regra da potência. Isso economiza tempo e evita contas desnecessárias.