Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos as primitivas (antiderivadas) de
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Queremos uma família de primitivasa
tais que .
Não foi dada nenhuma outra restrição; então vamos achar a primitiva indefinida geral (com constante de integração).
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática):
Quando temos uma função composta do tipo e a derivada de
aparece (ou aparece multiplicando), é eficiente fazer a substituição
. Em integrais, isso transforma a integral em uma em termos de
, onde se aplica a regra do poder
(para
). Aqui
e
, então vamos usar
.
Quando temos uma função composta do tipo
Passo 3
Fazer a substituição e transformar a diferencial:
Defina . Então a derivada é
Defina
ou seja
Agora substitua na integral
Passo 4
Aplicar a regra do poder e simplificar:
Usando com
, temos
. Portanto
Usando
Simplificando o coeficiente:
Logo a primitiva em termos de
é
Voltando a
com
, obtemos
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança):
Derivando usando a regra da cadeia:
Derivando
Os fatores se cancelam:
, então
, que é exatamente
. Perfeito.
Observação sobre domínio:
está definida para
, isto é para
. A primitiva encontrada vale (continua) em qualquer intervalo em que a função original seja contínua; na prática usamos essa primitiva na região
.