Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=\sqrt{3-2 x}

Passo 1

O enunciado pede que encontremos as primitivas (antiderivadas) de f(x)=\sqrt{3-2 x}.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\sqrt{3-2 x}=(3-2x)^{1/2}.
  • Queremos uma família de primitivasa F(x) tais que F'(x)=f(x).
    Não foi dada nenhuma outra restrição; então vamos achar a primitiva indefinida geral (com constante de integração C).

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática):
Quando temos uma função composta do tipo f(x)=g(h(x)) e a derivada de h(x) aparece (ou aparece multiplicando), é eficiente fazer a substituição u=h(x). Em integrais, isso transforma a integral em uma em termos de u, onde se aplica a regra do poder \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq-1). Aqui g(u)=u^{1/2} e h(x)=3-2x, então vamos usar u=3-2x.

Passo 3

Fazer a substituição e transformar a diferencial:
Defina \displaystyle u=3-2x. Então a derivada é
\frac{du}{dx}=-2,
ou seja
du=-2\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=-\tfrac{1}{2}\,du.
Agora substitua na integral
\int \sqrt{3-2x}\,dx=\int (3-2x)^{1/2}\,dx=\int u^{1/2}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right)=-\tfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Aplicar a regra do poder e simplificar:
Usando \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C com n=\tfrac{1}{2}, temos n+1=\tfrac{3}{2}. Portanto
-\tfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du=-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}+C.
Simplificando o coeficiente:
-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{3/2}=-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=-\tfrac{1}{3}.
Logo a primitiva em termos de u é
-\tfrac{1}{3}u^{3/2}+C.
Voltando a x com u=3-2x, obtemos
F(x)=-\tfrac{1}{3}(3-2x)^{3/2}+C.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança):
Derivando F(x) usando a regra da cadeia:
F'(x)=-\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2}(3-2x)^{1/2}\cdot(-2).
Os fatores se cancelam: -\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot(-2)=1, então F'(x)=(3-2x)^{1/2}=\sqrt{3-2x}, que é exatamente f(x). Perfeito.
Observação sobre domínio: f(x)=\sqrt{3-2x} está definida para 3-2x\ge0, isto é para x\le \tfrac{3}{2}. A primitiva encontrada vale (continua) em qualquer intervalo em que a função original seja contínua; na prática usamos essa primitiva na região x\le \tfrac{3}{2}.

Resposta

F(x)=-\dfrac{1}{3}(3-2x)^{3/2}+C

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