Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=4 \operatorname{sec} ^{2}(2 x-1)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a função
f(x)=4\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(2x-1\bigr)
e pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) dessa função usando o método da substituição. Em outras palavras, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x).

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática): quando a integranda tem a forma de uma função composta f(g(x)) e aparece junto a (ou multiplicada por) a derivada de g(x), podemos fazer a troca u=g(x) para transformar a integral em uma mais simples. A regra prática é:
\text{se }u=g(x)\text{ então }du=g'(x)\,dx,ã
e
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.
Aqui vamos aplicar exatamente isso: identificar a parte interna g(x) e substituir.

Passo 3

Escolha da substituição: observar a expressão \operatorname{sec}^{2}(2x-1). A parte interna é 2x-1. Fazemos
u=2x-1.
Agora calculamos du. Diferenciando em relação a x vem
du=2\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\dfrac{1}{2}\,du.

Passo 4

Reescrever a integral usando a substituição (passo a passo com constantes):
\int 4\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(2x-1\bigr)\,dx =4\int \operatorname{sec}^{2}(u)\!\left(\dfrac{1}{2}\,du\right)
Colocando a constante fora e simplificando:
4\cdot\dfrac{1}{2}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du =2\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 5

Integral conhecida e por que ela vale isso: sabe-se que a derivada da função \tan t é \operatorname{sec}^{2}t. Ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(\tan t\bigr)=\operatorname{sec}^{2}t.
Isso significa que uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}u em relação a u é \tan u. Portanto
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du=\tan u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável x e concluir: multiplicando pela constante que ficou fora,
2\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du=2\bigl(\tan u\bigr)+C.
Substituindo u=2x-1 de volta obtemos a primitiva em x:
F(x)=2\tan\!\bigl(2x-1\bigr)+C.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivar F(x) para checar se retorna f(x).
\frac{d}{dx}\bigl(2\tan(2x-1)+C\bigr) =2\cdot\operatorname{sec}^{2}(2x-1)\cdot\frac{d}{dx}(2x-1) =2\cdot\operatorname{sec}^{2}(2x-1)\cdot 2 =4\operatorname{sec}^{2}(2x-1),
que é exatamente f(x). Está correto.

Resposta

2\tan\!\bigl(2x-1\bigr)+C

Exercícios relacionados