Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a função
e pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) dessa função usando o método da substituição. Em outras palavras, encontrar uma função
tal que
.
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática): quando a integranda tem a forma de uma função composta
e aparece junto a (ou multiplicada por) a derivada de
, podemos fazer a troca
para transformar a integral em uma mais simples. A regra prática é:
e
Aqui vamos aplicar exatamente isso: identificar a parte interna
e substituir.
Passo 3
Escolha da substituição: observar a expressão
. A parte interna é
. Fazemos
Agora calculamos
. Diferenciando em relação a
vem
Passo 4
Reescrever a integral usando a substituição (passo a passo com constantes):
Colocando a constante fora e simplificando:
Passo 5
Integral conhecida e por que ela vale isso: sabe-se que a derivada da função
é
. Ou seja,
Isso significa que uma primitiva de
em relação a
é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar à variável
e concluir: multiplicando pela constante que ficou fora,
Substituindo
de volta obtemos a primitiva em
:
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivar
para checar se retorna
.
que é exatamente
. Está correto.