Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=(3 x+2)\left(3 x^{2}+4 x\right)^{4}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a função f(x) = (3x+2)\,(3x^{2}+4x)^{4}.
  • Pede-se encontrar as primitivas (antiderivadas) de f, ou seja, encontrar F(x) tal que F'(x)=f(x).

Passo 2

Ideia da substituição (explicação didática e motivação):
  • Quando a integranda é produto de uma função composta (g(x))^{n} com (alguma múltipla de) g'(x), uma boa jogada é pedir que u=g(x). Isso simplifica a integral porque a derivada de u aparece multiplicando.
  • Aqui observe a parte interna 3x^{2}+4x. Vou definir u = 3x^{2}+4x.
  • Agora calcule a diferença de u em relação a x (a derivada de u): \frac{du}{dx} = 6x+4.
  • Factorizando 6x+4 fica \frac{du}{dx} = 2(3x+2).
  • Reorganizando para obter um pedaço que aparece na integral: (3x+2)\,dx = \frac{1}{2}\,du.
  • Explicação curta do porquê isso ajuda: substituir u e du transforma a integral em uma integral em u mais simples (polinomial), que é fácil de integrar.

Passo 3

Fazer a substituição e integrar passo a passo:
  • Escrevendo a integral original (procurando uma primitiva): \int (3x+2)\,(3x^{2}+4x)^{4}\,dx
  • Substituindo u=3x^{2}+4x e (3x+2)\,dx=\dfrac{1}{2}\,du obtemos \int (3x+2)\,(3x^{2}+4x)^{4}\,dx = \int u^{4}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{4}\,du.
  • Agora integramos em u. A regra de potências diz que, para n\neq -1, \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.Aplicando com n=4: \frac{1}{2}\int u^{4}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{5}}{5}+C = \frac{u^{5}}{10}+C,onde C é a constante de integração.

Passo 4

Verificação rápida (mostra que a primitiva em u é correta):
  • Diferenciando \dfrac{u^{5}}{10} em relação a x usando a regra da cadeia: \frac{d}{dx}\!\left(\frac{u^{5}}{10}\right) = \frac{1}{10}\cdot 5u^{4}\cdot\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}u^{4}\cdot\frac{du}{dx}.
  • Como \dfrac{du}{dx}=2(3x+2), isso vira \frac{1}{2}u^{4}\cdot 2(3x+2) = u^{4}(3x+2),que é exatamente a integranda original quando reescrevemos u=3x^{2}+4x. Logo a primitiva encontrada está correta.

Passo 5

Dica prática para a prova (resumo rápido e incentivo):
  • Procure sempre uma expressão do tipo g'(x)\cdot (g(x))^{n}. Se encontrar, faça u=g(x) e substitua. Aqui o termo 3x+2 é proporcional a g'(x) e por isso a substituição funcionou.
  • Você fez certinho — respira! Esse tipo de integral aparece muito e fica fácil com esse olhar.

Resposta

\dfrac{(3x^{2}+4x)^{5}}{10}+C

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