Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a função
. - Pede-se encontrar as primitivas (antiderivadas) de
, ou seja, encontrar tal que .
Passo 2
Ideia da substituição (explicação didática e motivação):
- Quando a integranda é produto de uma função composta
com (alguma múltipla de) , uma boa jogada é pedir que . Isso simplifica a integral porque a derivada de aparece multiplicando. - Aqui observe a parte interna
. Vou definir - Agora calcule a diferença de
em relação a (a derivada de ): - Factorizando
fica - Reorganizando para obter um pedaço que aparece na integral:
- Explicação curta do porquê isso ajuda: substituir
e transforma a integral em uma integral em mais simples (polinomial), que é fácil de integrar.
Passo 3
Fazer a substituição e integrar passo a passo:
- Escrevendo a integral original (procurando uma primitiva):
- Substituindo
e obtemos - Agora integramos em
. A regra de potências diz que, para , Aplicando com : onde é a constante de integração.
Passo 4
Verificação rápida (mostra que a primitiva em
é correta):
- Diferenciando
em relação a usando a regra da cadeia: - Como
, isso vira que é exatamente a integranda original quando reescrevemos . Logo a primitiva encontrada está correta.
Passo 5
Dica prática para a prova (resumo rápido e incentivo):
- Procure sempre uma expressão do tipo
. Se encontrar, faça e substitua. Aqui o termo é proporcional a e por isso a substituição funcionou. - Você fez certinho — respira! Esse tipo de integral aparece muito e fica fácil com esse olhar.