Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar primitivas (antiderivadas) dessa função pelo método da substituição. Ou seja, encontrar uma função
tal que
. Não há outras informações.
Passo 2
O que é uma primitiva? Uma função
é primitiva de
se, para todo
no domínio, vale
As primitivas vêm em famílias que diferem por uma constante: se
é primitiva de
, então
também é primitiva para qualquer constante
. Para verificar uma primitiva, basta derivá‑la e ver se volta a dar
.
Passo 3
Ideia do método da substituição (explicação didática): quando temos uma integral de uma função composta, como
multiplicada por algo relacionado a
, é útil fazer a troca de variável
Então
e a integral em
vira uma integral em
, que costuma ser mais simples. No nosso caso a integral que queremos resolver é
Vamos escolher
para simplificar o fator em potência.
Passo 4
Escolha da substituição e cálculo do diferencial:
Derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
,
Passo 5
Substituindo na integral original:
Começamos com
Começamos com
Substituindo
e
, temos
Os fatores
multiplicando e dividindo se cancelam, ficando
Passo 6
Integrando em
:
A regra básica de potência para integrais diz que, para ,
A regra básica de potência para integrais diz que, para
onde
é uma constante arbitrária. Aqui
, então
Agora voltamos à variável original
usando
:
Passo 7
Verificação rápida (para ter confiança): derivando
,
onde usei a regra da cadeia: derivada de
é
vezes a derivada interna
. Portanto a verificação confirma que
é uma primitiva de
.