Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=2(2 x+4)^{5}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2(2x+4)^{5} e pede para encontrar primitivas (antiderivadas) dessa função pelo método da substituição. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). Não há outras informações.

Passo 2

O que é uma primitiva? Uma função F é primitiva de f se, para todo x no domínio, vale
F'(x)=f(x).
As primitivas vêm em famílias que diferem por uma constante: se F é primitiva de f, então F+C também é primitiva para qualquer constante C. Para verificar uma primitiva, basta derivá‑la e ver se volta a dar f(x).

Passo 3

Ideia do método da substituição (explicação didática): quando temos uma integral de uma função composta, como (g(x))^{n} multiplicada por algo relacionado a g'(x), é útil fazer a troca de variável
u=g(x).
Então du=g'(x)\,dx e a integral em x vira uma integral em u, que costuma ser mais simples. No nosso caso a integral que queremos resolver é
\int 2(2x+4)^{5}\,dx.
Vamos escolher u para simplificar o fator em potência.

Passo 4

Escolha da substituição e cálculo do diferencial:
u=2x+4.
Derivando ambos os lados em relação a x,
\frac{du}{dx}=2\quad\Rightarrow\quad du=2\,dx.
Isolando dx,
dx=\frac{du}{2}.

Passo 5

Substituindo na integral original:
Começamos com
\int 2(2x+4)^{5}\,dx.
Substituindo u=2x+4 e dx=\dfrac{du}{2}, temos
\int 2\,u^{5}\cdot\frac{du}{2}.
Os fatores 2 multiplicando e dividindo se cancelam, ficando
\int u^{5}\,du.

Passo 6

Integrando em u:
A regra básica de potência para integrais diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é uma constante arbitrária. Aqui n=5, então
\int u^{5}\,du=\frac{u^{6}}{6}+C.
Agora voltamos à variável original x usando u=2x+4:
F(x)=\frac{(2x+4)^{6}}{6}+C.

Passo 7

Verificação rápida (para ter confiança): derivando F(x),
F'(x)=\frac{1}{6}\cdot 6(2x+4)^{5}\cdot(2)=2(2x+4)^{5}=f(x),
onde usei a regra da cadeia: derivada de (2x+4)^{6} é 6(2x+4)^{5} vezes a derivada interna 2. Portanto a verificação confirma que F é uma primitiva de f.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{(2x+4)^{6}}{6}+C

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