Encontre uma primitva de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) de
. Informação relevante fornecida:
- A função é
. - Importante notar que
(a expressão não está definida em ).
A pergunta é: qual é uma funçãotal que para em um intervalo onde ?
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática): a primitiva ou integral indefinida de uma função
é uma função
cuja derivada dá
; escrevemos
, onde
é a constante de integração (porque derivada de uma constante é zero).
Regra prática muito usada (regra do expoente para integrais): para um número real
com
,
Por que essa fórmula vale? Porque a derivada de
é
. Se escolhermos
, ao derivar obtemos
logo
. A fórmula não vale para
porque aí apareceria divisão por zero; nesse caso a primitiva é
.
Passo 3
Aplicando a regra do expoente ao nosso caso: aqui
, que satisfaz
. Então
Simplificando,
Portanto a primitiva obtida é
.
Passo 4
Verificação (sempre bom checar na prova): derivar a candidata
.
Derivando:
Derivando:
que é exatamente
. Logo
e
é uma primitiva válida.
Passo 5
Observações finais e dicas para a prova:
- A primitiva
é válida em qualquer intervalo onde ; atenção: não existe uma única primitiva contínua em todo porque a função não está definida em . Em aplicações, escolha a constante dependendo do intervalo considerado (por exemplo, ou ). - Dica prática rápida: sempre que ver
com pense em aumentar o expoente em uma unidade e dividir pelo novo expoente. Para use . - Você consegue — pratique mais alguns exemplos parecidos para fixar: por exemplo,
e .