Encontre uma primitva de cada função a seguir:
f(x)=x^{-2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{-2} e pede: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) de f. Informação relevante fornecida:
  • A função é f(x)=x^{-2}.
  • Importante notar que x\neq0 (a expressão x^{-2} não está definida em x=0).
    A pergunta é: qual é uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) para x em um intervalo onde x\neq0?

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática): a primitiva ou integral indefinida de uma função g(x) é uma função G(x) cuja derivada dá g(x); escrevemos \int g(x)\,dx = G(x)+C, onde C é a constante de integração (porque derivada de uma constante é zero).
Regra prática muito usada (regra do expoente para integrais): para um número real n com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Por que essa fórmula vale? Porque a derivada de x^{k} é k x^{k-1}. Se escolhermos G(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, ao derivar obtemos
G'(x)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}=x^{n},
logo G'(x)=x^n. A fórmula não vale para n=-1 porque aí apareceria divisão por zero; nesse caso a primitiva é \ln|x|.

Passo 3

Aplicando a regra do expoente ao nosso caso: aqui n=-2, que satisfaz n\neq -1. Então
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C.
Simplificando,
\frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}.
Portanto a primitiva obtida é -\dfrac{1}{x}+C.

Passo 4

Verificação (sempre bom checar na prova): derivar a candidata F(x)=-x^{-1}.
Derivando:
\frac{d}{dx}\big(-x^{-1}\big) = -\big(-1\big)x^{-2} = x^{-2},
que é exatamente f(x). Logo F'(x)=f(x) e F(x)=-\dfrac{1}{x}+C é uma primitiva válida.

Passo 5

Observações finais e dicas para a prova:
  • A primitiva -\dfrac{1}{x}+C é válida em qualquer intervalo onde x\neq0; atenção: não existe uma única primitiva contínua em todo \mathbb{R} porque a função não está definida em 0. Em aplicações, escolha a constante C dependendo do intervalo considerado (por exemplo, x>0 ou x<0).
  • Dica prática rápida: sempre que ver x^{n} com n\neq -1 pense em aumentar o expoente em uma unidade e dividir pelo novo expoente. Para n=-1 use \ln|x|.
  • Você consegue — pratique mais alguns exemplos parecidos para fixar: por exemplo, \int x^{-3}\,dx=-\tfrac{1}{2}x^{-2}+C e \int x^{2}\,dx=\tfrac{1}{3}x^{3}+C.

Resposta

-\dfrac{1}{x}+C

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