Encontre uma primitva de cada função a seguir:
f(x)=x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x e pede para encontrar uma primitiva desta função.
Informações claras e o que é pedido:
  • Dado: f(x)=x.
  • Pedido: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) para todo x (ou seja, uma primitiva de f).
  • Lembrar: uma primitiva é determinada até uma constante arbitrária C.

Passo 2

O que é uma primitiva (explicação didática):
Uma função F é primitiva de f se, quando derivamos F, obtemos f. Em símbolos:
F'(x)=f(x).
Quando encontramos uma primitiva indefinida escrevemos também usando a notação de integral:
\int f(x)\,dx = F(x)+C,
onde C é a constante de integração porque derivada de uma constante é zero.

Passo 3

Regra que vamos usar (regra do poder / regra da potência para primitivas):
Para todo real n diferente de -1 vale
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Por que isso funciona? Porque, ao derivar o membro direito, usando a regra da potência para derivadas (se g(x)=x^{m} então g'(x)=m x^{m-1}), obtemos:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}\,x^{(n+1)-1}=x^{n}.
Logo a função \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é uma primitiva de x^{n}.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso: aqui f(x)=x é x^{1}, ou seja n=1. Usando a fórmula:
\int x\,dx=\int x^{1}\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivar a primitiva encontrada e ver se retorna f:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)=\frac{2x}{2}+0=x,
pois a derivada de C é zero. Portanto a primitiva está correta.

Passo 6

Dica prática para a prova (tomando coragem): sempre que tiver x elevado a alguma potência inteira (exceto -1), aplique diretamente a regra do passo 3. E não esqueça do +C: sem ele a resposta está incompleta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+C

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